PERTIDAKSAMAAN RASIONAL DAN IRASIONAL

Pertidaksamaan Rasional adalah bentuk pertidaksamaan yang memuat fungsi Rasional. Atau bisa dinyatakan dalam bentuk berikut

$\frac{f(x)}{g(x)}>0$ dengan $g(x)\neq0$

untuk tandanya bisa [ >, <, ≥ atau ≤ ]. Berikut beberapa contoh pertidaksamaan rasional:

$\frac{2x-4}{x^2-x-2}<2$

$\frac{x-4}{x+5}>0$

Pertidaksamaan Irasional adalah bentuk pertidaksamaan yang memuat fungsi Irasional atau fungsinya berada dibawah tanda akar seperti berikut

$\sqrt{f(x)}>0$

untuk tandanya bisa [ >, <, ≥ atau ≤ ].

Kedua topik di atas akan dibahas dengan lengkap di postingan ini.

Daftar isi:

1. Pertidaksamaan Rasional
2. Pertidaksamaan Rasional yang memuat fungsi definit
3. Pertidaksamaan Irasional

A. Pertidaksamaan Rasional

Dalam menyederhanakan pertidaksamaan Rasional hal-hal berikut perlu diperhatikan sehingga kita tidak mendapatkan hasil yang salah.

Berikut hal yang tidak boleh dilakukan dalam menyelesaikan pertidaksamaan Rasional:
 1. Kali Silang

$\frac{f(x)}{g(x)}>c$ $\not\equiv f(x)>c×g(x)$.

 2. Mencoret Fungsi yang sama

$\frac{f(x).g(x)}{g(x)}>0$ $\not\equiv f(x)>0$

Untuk mencari himpunan penyelesaian dari Pertidaksamaan Rasional maka ikuti langkah-langkah berikut ini:

1. Ubah ruas sebelah kanan tanda pertidaksamaan dengan nol "0".
2. Faktorkan pembilang dan penyebut jika berbentuk fungsi polinomial atau berderajat lebih dari satu.
3. Cari titik kritis atau pembuat nol, dan gambarkan pada garis bilangan.
4. Uji interval yang dibatasi oleh titik-titik kritis apakah bernilai positif atau negatif.
5. Tentukan Himpunan Penyelesain yang memenuhi tanda pertidaksamaan.

Contoh soal 1

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
$\frac{x+5}{x-2}>0$

Penyelesaian
1. Karena nilai sebelah kanan pertidaksamaan sudah sama dengan 0 maka lanjut langkah ke-2.

2. Karena fungsinya hanya berderajat 1, maka lanjut langkah ke-3

3. Nilai $x$ pembuat nol
Pembuat nol pembilang adalah
$x+5=0$ => $x=-5$
Pembuat nol penyebut adalah
$x-2=0$ => $x=2$
Jika digambarkan pada garis bilangan:

4. Karena batas intervalnya adalah -5 dan 2, maka uji dengan sebarang bilangan bulat yang berada pada tiga interval di atas, misal untuk interval $x<-5$ kita gunakan angka $x=-6$, untuk interval $-5<x<2$ kita gunakan angka $x=0$, dan untuk interval $x>2$ kita gunakan angka $x=3$

$x=-6$
$\frac{x+5}{x-2}=\frac{-6+5}{-6-2}=\frac{-1}{-8}=\frac{(-)}{(-)}=(+)$

$x=0$
$\frac{x+5}{x-2}=\frac{0+5}{0-2}=\frac{5}{-2}=\frac{(+)}{(-)}=(-)$

$x=3$
$\frac{x+5}{x-2}=\frac{3+5}{3-2}=\frac{8}{1}=\frac{(+)}{(+)}=(+)$

Jika digambarkan:

5. Karena tanda pertidaksamaannya adalah $>0$ maka himpunan penyelesaiannya adalah yang bertanda positif, yaitu:
{$x|x<-5 \: atau \: x>2, x ∈ R$}

Contoh soal 2
Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan
$\frac{4x}{x-1}>x+3$
adalah...

Jawaban:
1. Merubah ruas kanan pertidaksamaan menjadi nol.

2. Memfaktorkan pembilang dan penyebut.
$\frac{-x^2+2x+3}{x-1}>0\\ \frac{(-x+3)(x+1)}{x-1}>0$

3. Pembuat nol nya adalah
$-x+3=0$ => $x=3$
$x+1=0$ => $x=-1$
$x-1=0$ => $x=1$

Jadi pembuat nol nya adalah -1, 1 dan 3. Berikut gambar intervalnya:

4. Uji positif dan negatif pada setiap interval.
$x=-2$
$\frac{(-x+3)(x+1)}{x-1}=\frac{(-(-2)+3)(-2+1)}{-2-1} \\ =\frac{(5)(-1)}{-3}=\frac{(+)(-)}{(-)}=(+)$
$x=0$
$\frac{(-x+3)(x+1)}{x-1}=\frac{(0+3)(0+1)}{0-1} \\ =\frac{(3)(1)}{-1}=\frac{(+)(+)}{(-)}=(-)$
$x=2$
$\frac{(-x+3)(x+1)}{x-1}=\frac{(-2+3)(2+1)}{2-1} \\ =\frac{(1)(3)}{1}=\frac{(+)(+)}{(+)}=(+)$
$x=4$
$\frac{(-x+3)(x+1)}{x-1}=\frac{(-4+3)(4+1)}{4-1} \\ =\frac{(-1)(5)}{3}=\frac{(-)(+)}{(+)}=(-)$

5. Karena nilai pertidaksamaannya > 0 maka himpunan penyelesaiannya adalah interval positif, yaitu:
{$x|x<-1 \: atau \: 1<x<3, x ∈ R$}

Contoh soal 3
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan rasional berikut:

$\frac{x-6}{x-3}<\frac{x-2}{x+3}$

Jawab:

$\frac{x-6}{x-3}<\frac{x-2}{x+3} \\ \frac{x-6}{x-3}-\frac{x-2}{x+3}<0 \\ \frac{(x-6)(x+3)-(x-2)(x-3)}{(x-3)(x+3)}<0 \\ \frac{(x^2-3x-18)-(x^2-5x+6)}{(x-3)(x+3)}<0 \\ \frac{2x-24}{(x-3)(x+3)}<0 \\ \frac{2(x-12)}{(x-3)(x+3)}<0$

Pembuat Nol nya adalah:
$x-12=0$ => $x=12$
$x-3=0$ => $x=3$
$x+3=0$ => $x=-3$

Intervalnya adalah:

$x=-4$
$\frac{2(x-12)}{(x-3)(x+3)}=\frac{2(-16)}{(-7)(-1)}=(-)$

$x=0$
$\frac{2(x-12)}{(x-3)(x+3)}=\frac{2(-12)}{(-3)(3)}=(+)$

$x=4$
$\frac{2(x-12)}{(x-3)(x+3)}=\frac{2(-8)}{(1)(7)}=(-)$

$x=13$
$\frac{2(x-12)}{(x-3)(x+3)}=\frac{2(1)}{(10)(13)}=(+)$

Himpunan penyelesaiannya yang bertanda negatif yaitu:
{$x|x<-3 \: atau \: 3<x<12, x ∈ R$}

B. Pertidaksamaan Rasional yang memuat fungsi definit.

Fungsi definit terbagi dua yaitu fungsi definit positif dan fungsi definit negatif.

Fungsi definit positif artinya fungsi yang selalu bernilai positif untuk setiap x, atau grafik fungsi berada di atas sumbu x.

Fungsi definit negatif artinya fungsi yang selalu bernilai negatif untuk setiap x, atau grafik fungsi berada di bawah sumbu x.

Pertidaksamaan Rasional yang memuat fungsi definit positif dapat diabaikan tanpa merubah tanda pertidaksamaannya.

Contoh Soal
Tentukan Himpunan penyelesaian dari:
$\frac{x-2}{x^2+2x+2}\leq0$

Jawaban:
Fungsi $x^2+2x+2$ merupakan fungsi definit positif, dapat kita buktikan dengan nilai $a=1$ [positif] yang berarti grafik terbuka ke atas dan nilai $D<0$ yang berarti grafik tidak berpotongan dengan sumbu-x.
$D=b^2-4ac$
     $=2^2-4.1.2$
     $=4-8$
     $=-4$

Jadi $x^2+2x+2$ dapat di abaikan sehingga pertidaksamaan
$\frac{x-2}{x^2+2x+2}\leq0$
Setara dengan:
$\frac{x-2}{1}\leq0 \\ x-2\leq0 \\ x\leq2$
Sehingga diperoleh himpunan penyelesaiannya adalah
{$x|x\leq2, x ∈ R$}

Pertidaksamaan Rasional yang memuat fungsi definit negatif dapat diabaikan dengan merubah  tanda pertidaksamaannya. Artinya jika tanda pertidaksamaannya > dirubah menjadi <, begitu sebaliknya.

Contoh soal
Tentukan himpunan penyelesaian dari
$\frac{-x^{2}+x-2}{x^{2}-4x+3}\leq0$

Jawaban:
$\frac{-x^{2}+x-2}{x^{2}-4x+3}\leq0 \\ \frac{-x^{2}+x-2}{(x+3)(x+1)}\leq0$

Fungsi $-x^{2}+x-2$ merupakan fungsi definit degatif, dapat di buktikan dengan nilai $a$ dan $D$ nya, yaitu
$a=-1$ => $a<0$
Grafik fungsi terbuka ke bawah
$D=b^2-4ac$
     $=1^2-4.(-1).(-2)$
     $=1-8$
     $=-7$
$D<0$ => grafik fingsi tidak memotong sumbu-x.

Sehingga fungsi $-x^{2}+x-2$ dapat di abaikan dengan mengubah tanda pertidaksamannya, maka pertidaksamaan
$\frac{-x^{2}+x-2}{(x+3)(x+1)}\leq0$
Menjadi
$\frac{1}{(x+3)(x+1)}\geq0$

Pembuat nolnya adalah
$x+3=0$ => $x=-3$
$x+1=0$ => $x=-1$

$x=-4$ interval $x\leq-3$
$\frac{1}{(-4+3)(-4+1)}=\frac{1}{(-)(-)}=(+)$

$x=-2$ interval $-3\leq x\leq-1$
$\frac{1}{(-2+3)(-2+1)}=\frac{1}{(+)(-)}=(-)$

$x=0$ interval $x\geq-1$
$\frac{1}{(0+3)(0+1)}=\frac{1}{(+)(+)}=(+)$

Karena tanda pertidaksamaannya adalah $\geq0$ maka yang memenuhi adalah daerah positif, jadi himpunan penyelesaianya adalah:
{$x|x\leq-3\: atau\: x\geq-1, x ∈ R$}

C. Pertidaksamaan Irasional

Bentuk pertidaksamaan Irasional dan solusi himpunan penyelesaiannya:

1. Bentuk $\sqrt{f(x)}>k$

Untuk $k\geq0$
Solusi $f(x)\geq0\cap f(x)>k^2$

Untuk $k<0$
Solusi $f(x)\geq0$

2. Bentuk $\sqrt{f(x)}<k$
Solusi:
$f(x)\geq0\cap f(x)<k^2$

3. Bentuk $\sqrt{f(x)}>g(x)$
Solusi:
$f(x) ≥ 0 \cap g(x) ≥ 0 \cap f(x) > (g(x))^2$
Atau
$f(x) ≥ 0 \cap g(x) < 0$

4. Bentuk $\sqrt{f(x)}<g(x)$
Solusi:
$f(x) ≥ 0 \cap g(x) > 0\cap f(x) < (g(x))^2$

5. Bentuk $\sqrt{f(x)}>\sqrt{g(x)}$
Solusi:
$f(x) ≥ 0 \cap g(x) ≥ 0 \cap f(x) > g(x)$

6. Bentuk $\sqrt{f(x)}<\sqrt{g(x)}$
Solusi:
$f(x) ≥ 0 \cap g(x) ≥ 0 \cap f(x) < g(x)$

Contoh Soal:

1. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan:
$\sqrt{x-5}>7$ adalah...

Jawaban:
$\sqrt{x-5}>7$ fungsi ini merupakan bentuk 1 dengan $k>0$, maka solusinya adalah:
$f(x)\geq0\cap f(x)>k^2$

$f(x)\geq0$
$x-5\geq0\\x\geq5$

$f(x)>k^2$
$x-5>7^2\\x-5>49\\x>49+5\\x>54$

Ambil daerah yang dilewati kedua garis panah, jadi himpunan penyelesaiannya adalah $x>54$.

2. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan:
$x>\sqrt{x+6}$ adalah...

Jawaban:
$x>\sqrt{x+6}$ sama dengan $\sqrt{x+6}<x$

Jadi ini merupakan bentuk 4, sehingga solusinya adalah:
$f(x) ≥ 0 \cap g(x) > 0\cap f(x) < (g(x))^2$

$f(x)=x+6$ dan $g(x)=x$

$f(x) ≥ 0$
$x+6\geq0\\x\geq-6$

$g(x) > 0$
$x>0$

$f(x) < (g(x))^2$
$x+6<x^2$
$0<x^2-x-6$
$x^2-x-6>0$
$(x-3)(x+2)>0$
$x<-2$ atau $x>3$

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah yang dilewati ketiga garis yaitu $x>3$.


3. Soalnya pada gambar berikut:

Jawaban:
Merupakan bentuk ke-6 dengan
$f(x)=2x^2+6x-8$, dan
$g(x)=x^2+8x$

Solusinya adalah:

$f(x) ≥ 0 \cap g(x) ≥ 0 \cap f(x) < g(x)$

$f(x) ≥ 0$

$2x^2+6x-8\geq0$

$(x+4)(2x-2)≥0$

$x \leq-4$ atau $x \geq1$

$g(x) ≥ 0$

$x^2+8x\geq0$
$x(x+8)\geq0$
$x\leq-8$ atau $x\geq0$

$f(x) < g(x)$
$2x^2+6x-8<x^2+8x$
$2x^2-x^2+6x-8x-8<0$
$x^2-2x-8<0$
$(x-4)(x+2)<0$
$-2<x<4$

Himpunan penyelesaiannya adalah interval yang memiliki tiga garis yaitu:
$1<x<4$ jadi jawabannya D.

###SEMOGA BERMAMFAAT###

Bagikan Artikel ini