SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR

Persamaan Linear adalah sebuah persamaan yang tiap sukunya memuat konstanta, atau perkalian konstanta dengan variabel tunggal.

Persamaan ini dikatakan persamaan linear karena jika di gambarkan dalam bidang kartesius akan berupa garis lurus [linear] atau bidang datar.

Persamaan Linear bisa memuat beberapa variabel, jika memuat dua variabel maka disebut persamaan dua variabel. Contoh persamaan linear dua variabel sebagai berikut:

$2x+y=5$

Grafiknya sebagai berikut:

Grafiknya berupa garis lurus.

Dan jika memuat tiga variabel maka disebut persamaan linear tiga variabel, contoh:

$x+y+z=-10$

Grafiknya [warna merah] berbentuk bidang datar.

Berarti kamu bisa pasti bisa menyebutkan nama untuk persamaan linear berikut:

$m+t+k+a=x+y+z$

hehe.

Sistem Persamaan Linear adalah sekumpulan Persamaan Linear.

Persamaan Linear dihubungkan dengan tanda sama dengan "=". Pertidaksamaan linear dihubungkan dengan tanda $>,\geq,<,\leq$. Contoh pertidaksamaan linear:

$x\geq2$

$x+y\leq8$

$2x+5y>20$

Di postingan ini tidak akan dibahas mendalam tentang persamaan linear, tapi yang dibahas lebih mendalam adalah Sistem Persamaan Linear dan Sistem Pertidaksamaan Linear.

Daftar isi:

1. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
2. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
3. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
4. Nilai Maksimum/Minimum Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Oke, langsung ke TKP.

A. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Ada tiga cara menyelesaikan sistem persamaan linear baik yang dua variabel atau tiga variabel. Ketiga cara tersebut adalah:
1. Eliminasi
2. Subtitusi
3. Campuran

1. Eliminasi

Eliminasi adalah menghilangkan salah satu variabel dengan menjumlahkan atau mengurangkan, dengan menyamakan koofisien variabelnya terlebih dahulu.

Contoh Soal 1:
Himpunan penyelesaian dari sistem persaman berikut
$3x+y=-7$ dan
$2x-3y=10$
Adalah...

Pembahasan:
Langkah pertama adalah samakan koofisien dari variabel yang ingin di eliminasi pertama kali, misalkan kita ingin mengeliminasi y, maka kita samakan koofisien dari y, sebagai berikut:

$3x+y=-7$    |× 3 | $9x+3y=-21$
$2x-3y=10$   |× 1 | $2x-3y=10$
Sssssssssssssssssss ------------------- +
Sssssssssssssssssss $11x=-11$
Sssssssssssssssssss $x=\frac{-11}{11}=-1$

Langkah kedua adalah mengeliminasi $x$ untuk mendapatkan nilai $y$, jadi kita harus menyamakan koofisien $x$.

$3x+y=-7$    |× 2 | $6x+2y=-14$
$2x-3y=10$   |× 3 | $6x-9y=30$
Sssssssssssssssssss ------------------- -
Sssssssssssssssssss $11y=-44$
Sssssssssssssssssss $y=\frac{-44}{11}=-4$

Pada langkah pertama untuk mengeliminasi y dilakukan penjumlahan karena koofisien dari persamaan pertama $(3)$ dan persamaan kedua $(-3)$ berbeda. Pada langkah kedua untuk mengeliminasi x dilakukan pengurangan karena koofisien dari persamaan pertama $(6)$ dan persamaan kedua $(6)$ sama.

Contoh Soal 2:
Diketahui SPLDV sebagai berikut
$3x+2y=2$ dan
$x-4y=10$
Dari SPLDV tersebut, nilai $x+y$ adalah...

Jawaban:
Eliminasi y untuk memdapatkan nilai x:
$3x+2y=2$    |× 2 | $6x+4y=4$
$x-4y=10$    |× 1 |    $x-4y=10$
Sssssssssssssssss ------------------- +
Ssssssssssssssssss $7x=14$
Ssssssssssssssssss $x=\frac{14}{7}=2$

Eliminasi x untuk memdapatkan nilai y:
$3x+2y=2$    |× 1 | $3x+2y=2$
$x-4y=10$    |× 3 | $3x-12y=30$
Sssssssssssssssss ------------------- -
Ssssssssssssssssss $14x=-28$
Ssssssssssssssssss $x=\frac{-28}{14}=-2$

Maka nilai $x+y=2-2=0$

2. Subtitusi

Subtitusi dapat di artikan sebagai Mengganti nilai dari suatu Variabel.

Contoh Soal 1:
Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan berikut:
$2x-y=5$ dan
$x+y=1$

Jawaban:
Untuk mendapatkan nilai x maka subtitusi nilai y, sebagai berikut:
$2x-y=5$
$-y=-2x+5$
$y=2x-5$

Subtitusi nilai y tersebut ke persamaan kedua, sehingga diperoleh:
$x+y=1$
$x+(2x-5)=1$
$3x-5=1$
$3x=1+5$
$3x=6$
$x=\frac{6}{3}=2$

Untuk mendapatkan nilai y maka subtitusi nilai x, sebagai berikut:
$2x-y=5$
$2x=y+5$
$x=\frac{y+5}{2}$

Subtitusi nilai x tersebut ke persamaan kedua, sehingga diperoleh:
$x+y=1$
$\frac{y+5}{2}+y=1$ dikali 2
$y+5+2y=2$
$3y=2-5$
$3y=-3$
$y=\frac{-3}{3}=-1$

Jadi penyelesaiannya adalah $x=2$ dan $y=-1$.

Contoh Soal 2:
Hari ini usiaku seperempat kali usia ayahku. Sepuluh tahun yang lalu, usiaku sepersepuluh usia ayahku pada waktu itu. berapa usiaku sekarang?

Jawab:

Misal

Usiaku = $x$

Umur ayahku = $y$

Kalimat pertama:

$x=\frac{1}{4}y$

Kalimat kedua:

$(x-10)=\frac{1}{10}(y-10)$

$\frac{1}{4}y-10=\frac{1}{10}y-1$ [dikali 20]
$5y-200=2y-20$
$5y-2y=-20+200$
$3y=180$
$y=\frac{180}{3}=60$

$x=\frac{1}{4}y$
$x=\frac{1}{4}×60$
$x=15$

Jadi Usiaku sekarang adalah 15tahun.


3. Campuran

Penyelesaian dengan cara campuran artinya kita menggunakan kedua cara sekaligus, yaitu dengan eliminasi dan subtitusi.

Misalnya untuk mencari nilai $x$ kita menggunakan cara eliminasi, dan untuk mencari nilai $y$ kita menggunakan cara subtitusi. Cara campuran adalah adalah cara yang paling sering digunakan untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear.

Contoh soal 1:
Tentukan HP dari SPLDV berikut:
$2x+y=0$
$7x+8y=1$

Jawaban:
Eliminasi $y$ untuk mendapatkan $x$:
$2x+y=0$    | × 8 | $16x+8y=0$
$7x+8y=1$  | × 1 |   $7x+8y=1$
Sssssssssssssssss ----------------- -
Sssssssssssssssssss $9x=-1$
Sssssssssssssssssss $x=-\frac{1}{9}$

Kemudian Subtitusi $x$
$2x+y=0$
$2×(-\frac{1}{9})+y=0$
$y=\frac{2}{9}$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah  $x=-\frac{1}{9}$ dan $y=\frac{2}{9}$.

B. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Untuk mencari penyelesaian dari Sistem persamaan linear tiga vaeiabel caranya sama dengan sistem persamaan linear dua variabel, yaitu bisa menggunakan cara eliminasi, subtitusi atau cara campuran. Cuma pada sistem persamaan linear tiga variabel caranya lebih panjang karena variabel yang akan dicari penyelesaiannya lebih banyak [yaitu tiga variabel]. Disini saya hanya akan menggunakan cara campuran untuk mencari penyelesaiannya.

Contoh Soal:
Tentukan penyelesaian dari SPLTV berikut:
$10x-5y+3z=-41$
$8x+6y+5z=18$
$6x+3y+z=-13$

Jawaban:
$10x-5y+3z=-41$...[1]
$8x+6y+5z=18$...[2]
$6x+3y+z=-13$...[3]
Langkah pertama adalah mengeliminasi satu variabel, misal yang di eliminasi adalah $z$. Misal kita gunakan persamaan [2] dan [3].

$8x+6y+5z=18...|×1|$
$6x+3y+z=-13...|×5|$

$8x+6y+5z=18$
$30x+15y+5z=-65$
-------------------------  -
$-22x-9y=83$...[4]

Karena dibutuhkan 2 persamaan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel maka, elimasi lagi $z$ dengan menggunakan persamaan [1] dan [3]

$10x-5y+3z=-41...|×1|$
$6x+3y+z=-13...|×3|$

$10x-5y+3z=-41$
$18x+9y+3z=-39$
-------------------------  -
$-8x-14y=-2$...[5]

Untuk mendapatkan nilai $x$ maka eliminasi $y$ dengan menggunakan persamaan [4] dan [5]

$-22x-9y=83...|×14|$
$-8x-14y=-2...|×9|$   

$-308x-126y=1.162$
$-72x-126y=-18$
---------------------------  -
$-236x=1.180$
$x=-\frac{1.180}{236}$
$x=-5$

Untuk mendapatkan nilai $y$ gunakan persamaan [5]

$-8x-14y=-2$
$-8×(-5)-14y=-2$
$40-14y=-2$
$-14y=-2-40$
$-14y=-42$
$y=\frac{-42}{-14}=3$

Untuk mendapatkan nilai $z$ gunakan persamaan [3]

$6x+3y+z=-13$
$6×(-5)+3×3+z=-13$
$-30+9+z=-13$
$-21+z=-13$
$z=-13+21$
$z=8$

Jadi penyelesaiannya adalah $x=-5$, $y=3$ dan $z=8$.

C. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

a. Menentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan linear
Untuk menentukan daerah penyelesaian suatu pertidaksamaan linear, pertama harus digambar dulu garis pertidaksamaan linear tersebut kemudian coba satu titik kepertidaksamaan linear tersebut.

Contoh 1:
Gambarkan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear berikut dalam bentuk grafik:
$2x+3y\leq12$

Pembahasan:
Untuk menggambar garis persamaannya maka kita perlu dua titik sembarang, kemudian hubungkan kedua titik tersebut. Titik paling umum digunakan adalah titik dengan nilai $x=0$ dan $y=0$.

$x=0$
$2×0+3y=12$ => $y=\frac{12}{3}=4$
Titik koordinatnya adalah $(0,4)$

$y=0$
$2x+3×0=12$ => $x=\frac{12}{2}=6$
Titik koordinatnya adalah $(6,0)$

Hubungkan kedua titik koordinat tersebut sehingga diperoleh grafik fungsi sebagai berikut:

Untuk menentukan daerah penyelesaiannya maka kita coba sebarang titik koordinat ke pertidaksamaan tersebut, dan titik yang paling umum di coba adalah titik $(0,0)$.

Titik $(0,0)$
$2x+3y\leq12$
$2×0+3×0\leq12$
$0\leq12$

Karena titik tersebut memenuhi pertidaksamaan, maka arsir ke arah titik $(0,0)$. Sehingga daerah penyelesaianya adalah seperti gambar berikut:

Himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang di arsir warna merah.

Untuk dua pertidaksamaan linear atau lebih, maka daerah penyelesaiannya adalah irisan dari daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan tersebut.

Contoh 2:
Tentukan penyelesaian dari:
$x+3y\leq6$
$3x+y\leq9$
$x\geq0$
$y\geq0$

Jawaban:
Pertama tentukan titik potong dengan sb-x dan sb-y persamaan diatas untuk menggambar garis persamaannya.
$x+3y=6$
$x=0$  =>  $y=\frac{6}{3}=2$  =>  $(0,2)$
$y=0$  =>  $x=\frac{6}{1}=6$  =>  $(6,0)$

$3x+y=9$
$x=0$  =>  $y=\frac{9}{1}=9$  =>  $(0,9)$
$y=0$  =>  $x=\frac{9}{3}=3$  =>  $(3,0)$

Kemudian Tentukan daerah penyelesaiannya:
$x\geq0$ dan $y\geq0$ ini berarti daerah penyelesaiannya berada di kuadran I.

$x+3y\leq6$
Titik $(0,0)$
$0\leq6$ Memenuhi, arsir ke arah $(0,0)$

$3x+y\leq9$
Titik $(0,0)$
$0\leq9$ Memenuhi, arsir ke arah $(0,0)$

Sehingga diperoleh daerah penyelsaiannya adalah sebagai berikut:

Daerah penyelesaiannya adalah daerah yang di arsir warna kuning.

D. Nilai Maksimum/Minimum Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Pada topik ini hampir sama dengan topik sebelumnya, akan tetapi disini ditambahkan dengan fungsi kendala [Maksimum/Minimum].

Umumnya soal-soal mengenai topik ini banyak berbentuk soal cerita. Jadi kita harus pandai dalam merumuskan suatu kalimat kedalam bentuk matematika.

Contoh Soal 1:
Seorang pedagang buah menggunakan gerobak untuk menjual apel dan jeruk. Harga pembelian apel Rp15.000/kg, dan jeruk Rp10.000/kg. Modalnya hanya Rp3.000.000 dan muatan gerobak tidak dapat melebihi 250kg. Jika keuntungan tiap kg apel adalah Rp2.000 dan keuntungan tiap kg jeruk adalah Rp1.000. Maka untuk memperoleh keuntungan sebesar mungkin pada setiap pembelian, pedagang itu harus membeli...
A. 250kg Jeruk saja
B. 200kg Apel saja
C. 100kg Apel dan 150kg Jeruk
D. 150kg Apel dan 100kg Jeruk
E. 200kg Apel dan 50kg Jeruk

Pembahasan:
Untuk lebih mudah merubah ke bentuk matematika maka sajikan data di atas dalam bentuk tabel sebagai berikut:

Jika kita misalkan Apel sebagai $x$ dan Jeruk sebagai $y$ maka diperoleh pertidaksamaan sebagai berikut:

$15.000x+10.000y\leq3.000.000$
$x+y\leq250$

Karena nilai apel dan jeruk tidak mungkin negatif maka:

$x\geq0$
$y\geq0$

Fungsi z [Maksimum]
$z=2.000x+1.000y$

Langkah selanjutnya adalah menentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan di atas.
Untuk menggambar garisnya maka perlu di cari titik potong dengan sb-x dan sb-y nya.

$15.000x+10.000y=3.000.000$
$x=0$
$10.000y=3.000.000$  =>  $y=300$
$(0,300)$
$y=0$
$15.000x=3.000.000$  =>  $x=200$
$(200,0)$

$x+y=250$
$x=0$  =>  $y=250$  =>  $(0,250)$
$y=0$  =>  $x=250$  =>  $(250,0)$

Titik potong kedua garis
$x+y=250$
$x=-y+250$

$15.000x+10.000y=3.000.000$
$15.000(-y+250)+10.000y=3.000.000$
$-15.000y+3.750.000+10.000y=3.000.000$
$-5.000y=3.000.000-3.750.000$
$y=\frac{-750.000}{-5.000}$
$y=150$

$x=-y+250$
$x=-150+250$
$x=100$

Titik potong kedua garis $(100,150)$

Karena $0\leq3.000.000$ dan $0\leq250$ maka daerah penyelesaiannya ke arah titik $(0,0)$, Sehingga diperoleh grafik sebagai berikut:

Daerah penyelesaiannya adalah daerah yang bewarna polos. Untuk mencari fungsi Maksimumnya maka uji pada titik-titik sudut daerah penyelesaian tersebut yaitu titik $(200,0)$, $(0,250)$ dan $(100,150)$.

Fungsi z [Maksimum]
$z=2.000x+1.000y$

$(200,0)$
$z=2.000×200+0=400.000$

$(0,250)$
$z=0+1.000×250=250.000$

$(100,150)$
$z=2.000×100+1.000×150=350.000$

Fungsi z maksimum pada titik $(200,0)$ dengan menjual 200 apel saja. Dan keuntungan yang diperoleh sebesar Rp400.000. Jadi jawabannya adalah B.

Contoh Soal 2:
Seseorang diharuskan mengkonsumsi dua jenis obat setiap hari. Obat jenis I mengandung 4 unit Vitamin A dan 3 unit Vitamin B, sedangkan obat jenis II mengandung 3 unit Vitamin A dan 4 unit Vitamin B. Dalam 1 hari ia memerlukan 30 unit Vitamin A dan 33 unit Vitamin B. Jika harga obat jenis I Rp6.000 dan jenis II Rp5.000, maka pengeluaran minimum setiap harinya adalah...
A. Rp45.000
B. Rp48.000
C. Rp50.000
D. Rp55.000
E. Rp66.000

Pembahasan:
Tabel Kalimat di atas adalah sebagai berikut:

Misal:
$x=$ Jenis Obat I
$y=$ Jenis Obat II

Maka bentuk matematika dari tabel di atas adalah:
$4x+3y\geq30$
$3x+4y\geq33$
$x\geq0$
$y\geq0$
Tanda $\geq30$ dan $\geq33$ karena kebutuhannya tidak boleh kurang dari 30 unit vitamin A dan 33 unit Vitamin B.
Nilai $x$ dan $y$ juga harus berbentuk bilangan bulat, karena tidak mungkin membeli obat dalam bentuk pecahan.

Fungsi z [Minimum]
$z=6.000x+5.000y$

Titik potong Garis dengan sb-x dan sb-y
$4x+3y=30$
$x=0$  =>  $y=\frac{30}{3}=10$  =>  $(0,10)$
$y=0$  =>  $x=\frac{30}{4}=7.5$  =>  $(7.5,0)$

$3x+4y=33$
$x=0$  =>  $y=\frac{33}{4}=8.25$  =>  $(0,8.25)$
$y=0$  =>  $x=\frac{33}{3}=11$  =>  $(11,0)$

Titik potong kedua garis:
$4x+3y=30$  |×4|  $16x+12y=120$
$3x+4y=33$  |×3|    $9x+12y=99$
Sssssssssssssssss ----------------------  -
Ssssssssssssssssss $7x=21$
Ssssssssssssssssss $x=\frac{21}{7}=3$

$4x+3y=30$
$4×3+3y=30$
$3y=30-12$
$y=\frac{18}{3}=6$

Titik potong garisnya adalah $(3,6)$

Jika digambarkan maka grafiknya sebagai berikut:

Daerah penyelesaiannya adalah daerah yang tidak diarsir. Dalam buku lain atau sumber lain mungkin daerah penyelesaiannya yang di arsir, itu tergantung kreasi kita masing-masing.

Titik minimumnya berada pada titik-titik sudut daerah penyelesaiannya yaitu pada titik $(0,10)$, $(3,6)$ atau $(11,0)$

$(0,10)$
$z=6.000×0+5.000×10=50.000$

$(3,6)$
$z=6.000×3+5.000×6=48.000$

$(11,0)$
$z=6.000×11+5.000×0=66.000$

Jadi pengeluaran minimum setiap harinya adalah Rp48.000, jadi jawabannya adalah B.

###SEMOGA BERMAMFAAT###

Bagikan Artikel ini