CARA CEPAT MENENTUKAN PERSAMAAN KUADRAT BARU

Dengan cara yang akan di bahas di postingan ini maka untuk menentukan persamaan kuadrat baru kita tidak perlu lagi mencari jumlah akar-akar atau hasil kali dari akar-akar persamaan kuadratnya.

Rumus-rumus yang ada nanti akan disertai dengan pembuktian sehingga tidak diragukan lagi kebenaran rumusnya.

Oke langsung saja, inilah Rumus-rumus cepatnya.

Daftar isi:

1. Rumus Cepat Persamaan Kuadrat Baru
2. Contoh Soal
3. Pembuktian Rumus

A. Rumus Cepat Persamaan Kuadrat Baru

Jika diketahui Persamaan Kuadrat:
$ax^2+bx+c=0$
Yang akar-akarnya adalah $x_1$ dan $x_2$
Maka Persamaan Kuadrat Baru [PKB] yang akar-akarnya dengan ketentuan sebagai berikut rumus cepatnya adalah:

1. $n$ kali akar-akarnya [$nx_1$ dan $nx_2$]
PKB => $ax^2+nbx+n^2c=0$

2. Kebalikan akar-akarnya [$\frac{1}{x_1}$ dan $\frac{1}{x_2}$]
PKB => $cx^2+bx+a=0$

3. Berlawanan akar2nya [$-x_1$ dan $-x_2$]
PKB => $ax^2-bx+c=0$

4. Akar-akarnya $x_1+n$ dan $x_2+n$
PKB => $a(x-n)^2+b(x-n)+c=0$

5. Akar-akarnya $x_1^2$ dan $x_2^2$
PKB => $a^2x^2-(b^2-2ac)x+c^2=0$

6. Akar-akarnya $x_1^3$ dan $x_2^3$
PKB => $a^3x^2+(b^3-3ac)x+c^3=0$

7. Akar-akarnya $\frac{1}{x_1^2}$ dan $\frac{1}{x_2^2}$
PKB => $c^2x^2-(b^2-2ac)x+a^2=0$

8. Akar-akarnya $\frac{x_2}{x_1}$ dan $\frac{x_1}{x_2}$
PKB => $acx^2-(b^2-2ac)x+ac=0$

9. Akar-akarnya $x_1+x_2$ dan $x_1.x_2$
PKB => $a^2x^2+(ab-ac)x-bc=0$

Untuk pembuktian Rumus-rumus di atas ada di akhir postingan ini.

B. Contoh Soal

1. Susunlah persamaan kuadrat baru jika diketahui akar-akar persamaan kuadrat barunya lima kali akar-akar persamaan kuadrat $2x^2-5x+3=0$.

Jawab:
PK => $2x^2-5x+3=0$
Sssss $a=2,b=-5,c=3$

PKB => Akar-akarnya $5x_1$ dan $5x_2$
Ssssss $n=5$
Ssssss $ax^2+nbx+n^2c=0$
Ssssss $2x^2+5.(-5)x+5^2.3=0$
Ssssss $2x^2-25x+75=0$

Selesai ✓

2. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya kebalikan dari akar-akar persamaan kuadrat $x^2+2x-8=0$.

Jawab:
PK => $x^2+2x-8=0$
Sssss $a=1,b=2,c=-8$

PKB => Akar-akarnya $\frac{1}{x_1}$ dan $\frac{1}{x_2}$
Ssssss $cx^2+bx+a=0$
Ssssss $-8x^2+2x+1=0...(×-1)$
Ssssss $8x^2-2x-1=0$

Selesai ✓

3. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya berlawanan dari akar-akar persamaan kuadrat $x^2-2x-6=0$ adalah...

Jawab:
PK => $x^2-2x-6=0$
Sssss $a=1,b=-2,c=-6$

PKB => Akar-akarnya $-x_1$ dan $-x_2$
Ssssss $ax^2-bx+c=0$
Ssssss $x^2-(-2)x+(-6)=0$
Ssssss $x^2+2x-6=0$

Selesai ✓

4. Akar-akar persamaan kuadrat $2x^2-3x+5=0$ adalah $x_1$ dan $x_2$. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $x_1+3$ dan $x_2+3$ adalah...

Jawab:
PK => $2x^2-3x+5=0$
Sssss $a=2,b=-3,c=5$

PKB => Akar-akarnya $x_1+3$ dan $x_2+3$
Ssssss $n=3$
Ssssss $a(x-n)^2+b(x-n)+c=0$
Ssssss $2(x-3)^2+(-3)(x-3)+5=0$
Ssssss $2(x^2-6x+9)-3x+9+5=0$
Ssssss $2x^2-12x+18-3x+14=0$
Ssssss $2x^2-15x+32=0$

Selesai ✓

5. Akar-akar persamaan kuadrat $2x^2+5x-3=0$ adalah $x_1$ dan $x_2$. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $x_1^2$ dan $x_2^2$ adalah...

Jawab:
PK => $2x^2+5x-3=0$
Sssss $a=2,b=5,c=-3$

PKB => Akar-akarnya $x_1^2$ dan $x_2^2$
$a^2x^2-(b^2-2ac)x+c^2=0$
$2^2x^2-(5^2-2.2.(-3))x+(-3)^2=0$
$4x^2-(25+12)x+9=0$
$4x^2-37x+9=0$

Selesai ✓

6. Diketahui akar-akar persamaan kuadrat $x^2-4x+2=0$ adalah $x_1$ dan $x_2$. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $x_1^3$ dan $x_2^3$ adalah...

Jawab:
PK => $x^2-4x+2=0$
Sssss $a=1,b=-4,c=2$

PKB => Akar-akarnya $x_1^3$ dan $x_2^3$
$a^3x^2+(b^3-3abc)x+c^3=0$
$1^3x^2+((-4)^3-3.1.(-4).2)x+(2)^3=0$
$x^2+(-64+24)x+8=0$
$x^2-40x+8=0$

Selesai ✓

7. α dan β adalah akar-akar persamaan $2x^2-7=0$. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $\frac{1}{α^2}$ dan $\frac{1}{β^2}$ adalah...

Jawab:
PK => $2x^2-7=0$
Sssss $a=2,b=0,c=-7$
Sssss Akar2 α dan β

PKB => Akar-akarnya $\frac{1}{α^2}$ dan $\frac{1}{β^2}$
$c^2x^2-(b^2-2ac)x+a^2=0$
$(-7)^2x^2-(0^2-2.2.(-7))x+2^2=0$
$49x^2-(0+28)x+4=0$
$49x^2-28x+4=0$

Selesai ✓

8. Seorang matematikawan memiliki persamaan kuadrat $x^2-2x-3=0$. Anggap akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut adalah α dan β. Jika ia ingin membuat persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $\frac{α}{β}$ dan $\frac{β}{α}$, Maka persamaan kuadrat barunya adalah...

Jawab:
PK => $x^2-2x-3=0$
Sssss $a=1,b=-2,c=-3$
Sssss Akar2 α dan β

PKB => Akar-akarnya $\frac{α}{β}$ dan $\frac{β}{α}$
$acx^2-(b^2-2ac)x+ac=0$
$1.(-3)x^2-((-2)^2-2.1.(-3))x+1.(-3)=0$
$-3x^2-(4+6)x-3=0$
$-3x^2-10x-3=0...(×-1)$
$3x^2+10x+3=0$

Selesai ✓

9. Akar-akar dari persamaan kuadrat $2x^2+4x-5=0$ adalah α dan β. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya α+β dan α×β!

Jawab:
PK => $2x^2+4x-5=0$
Sssss $a=2,b=4,c=-5$
Sssss Akar2 α dan β

PKB => Akar-akarnya α+β dan α×β.
$a^2x^2+(ab-ac)x-bc=0$
$2^2x^2+(2.4-2.(-5))x-4.(-5)=0$
$4x^2+(8+10)x+20=0$
$4x^2+18x+20=0...(÷2)$
$2x^2+9x+10=0$

Selesai ✓

C. Pembuktian Rumus

Untuk pembuktian Rumus diatas maka gunakan sifat penjumlahan dan perkalian akar-akar yaitu:
$x_1+x_2=\frac{-b}{a}$ dan $x_1.x_2=\frac{c}{a}$

1. $n$ kali akar-akarnya [$nx_1$ dan $nx_2$]

$nx_1+nx_2=n(x_1+x_2)$
Ssssssssss $=n.\frac{-b}{a}$
Ssssssssss $=\frac{-nb}{a}$

$nx_1.nx_2=n^2(x_1.x_2)$
Ssssssss $=n^2.\frac{c}{a}$
Ssssssss $=\frac{n^2c}{a}$

Persamaan Kuadrat Baru
$x^2-(nx_1+nx_2)x+nx_1.nx_2=0$
$x^2-(\frac{-nb}{a})x+\frac{n^2c}{a}=0$
$x^2+\frac{nb}{a}x+\frac{n^2c}{a}=0$
$×a$
$ax^2+nbx+n^2c=0$

Terbukti ✓

2. Kebalikan akar-akarnya [$\frac{1}{x_1}$ dan $\frac{1}{x_2}$]

$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1.x_2}$
Ssssssss $=\frac{\frac{-b}{a}}{\frac{c}{a}}$
Ssssssss $=\frac{-b}{a}×\frac{a}{c}$
Ssssssss $=\frac{-b}{c}$

$\frac{1}{x_1}.\frac{1}{x_2}=\frac{1}{x_1.x_2}$
 Sssss $=\frac{1}{\frac{c}{a}}$
 Sssss $=\frac{a}{c}$

Persamaan Kuadrat Baru
$x^2-(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2})x+\frac{1}{x_1}.\frac{1}{x_2}=0$
$x^2-(\frac{-b}{c})x+\frac{a}{c}=0$
$x^2+(\frac{b}{c})x+\frac{a}{c}=0$
$×c$
$cx^2+bx+a=0$

Terbukti ✓

3. Berlawanan akar-akarnya [$-x_1$ dan $-x_2$]

$(-x_1)+(-x_2)=-(x_1+x_2)$
Sssssssssssssss $=-\frac{-b}{a}$
Sssssssssssssss $=\frac{b}{a}$

$(-x_1)×(-x_2)=x_1×x_2$
Sssssssssssssss $=\frac{c}{a}$

Persamaan Kuadrat Baru
$x^2-((-x_1)+(-x_2))x+(-x_1)×(-x_2)=0$
$x^2-\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$
$×a$
$ax^2-bx+c=0$

Terbukti ✓

4. Akar-akarnya $x_1+n$ dan $x_2+n$

$x_1+n+x_2+n=2n+x_1+x_2$
Ssssssssssssssss $=2n+\frac{-b}{a}$
Ssssssssssssssss $=2n-\frac{b}{a}$

$(x_1+n)×(x_2+n)$
$=x_1.x_2+n(x_1+x_2)+n^2$
$=\frac{c}{a}+n(\frac{-b}{a})+n^2$
$=\frac{c}{a}-\frac{nb}{a}+n^2$

Persamaan Kuadrat Baru
$x^2-(x_1+n+x_2+n)x+(x_1+n)×(x_2+n)=0$
$x^2-(2n-\frac{b}{a})x+\frac{c}{a}-\frac{nb}{a}+n^2=0$
$×a$
$ax^2-2anx+bx+c-nb+an^2=0$
$ax^2-2anx+an^2+bx-nb+c=0$
$a(x^2-2nx+n^2)+b(x-n)+c=0$
$a(x-n)^2+b(x-n)+c=0$

Terbukti ✓

5. Akar-akarnya $x_1^2$ dan $x_2^2$

$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2(x_1+x_2)$
Sssssss  $=(\frac{-b}{a})^2-2(\frac{c}{a})$
Sssssss  $=\frac{b^2}{a^2}-\frac{2c}{a}$
Sssssss  $=\frac{b^2-2ac}{a^2}$

$x_1^2.x_2^2=(x_1.x_2)^2$
Sssss  $=(\frac{c}{a})^2$
Sssss  $=\frac{c^2}{a^2}$

Persamaan Kuadrat Baru
$x^2-(x_1^2+x_2^2)x+x_1^2.x_2^2=0$
$x^2-(\frac{b^2-2ac}{a^2})x+\frac{c^2}{a^2}=0$
$×a^2$
$a^2x^2-(b^2-2ac)x+c^2=0$

Terbukti ✓

6. Akar-akarnya $x_1^3$ dan $x_2^3$

$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3.x_1.x_2(x_1+x_2)$
Sssssss  $=(\frac{-b}{a})^3-3.\frac{c}{a}(\frac{-b}{a})$
Sssssss  $=\frac{-b^3}{a^3}+\frac{3bc}{a^2}$
Sssssss  $=\frac{-b^3+3abc}{a^3}$

$x_1^3.x_2^3=(x_1.x_2)^3$
Sssss  $=(\frac{c}{a})^3$
Sssss  $=\frac{c^3}{a^3}$

Persamaan Kuadrat Baru
$x^2-(x_1^3+x_2^3)x+x_1^3.x_2^3=0$
$x^2-(\frac{-b^3+3abc}{a^3})x+\frac{c^3}{a^3}=0$
$×a^3$
$a^3x^2+(b^3-3abc)x+c^3=0$

Terbukti ✓

7. Akar-akarnya $\frac{1}{x_1^2}$ dan $\frac{1}{x_2^2}$

$\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1^2.x_2^2}$
Sssssss  $=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1.x_2}{(x_1.x_2)^2}$
Sssssss  $=\frac{(\frac{-b}{a})^2-2.\frac{c}{a}}{(\frac{c}{a})^2}$
Sssssss  $=\frac{\frac{b^2}{a^2}-\frac{2c}{a}}{\frac{c^2}{a^2}}$
Sssssss  $=(\frac{b^2}{a^2}-\frac{2c}{a})×\frac{a^2}{c^2}$
Sssssss  $=\frac{b^2}{c^2}-\frac{2a}{c}$

$\frac{1}{x_1^2}.\frac{1}{x_2^2}=\frac{1}{(x_1.x_2)^2}$
Sssss  $=\frac{1}{(\frac{c}{a})^2}$
Sssss  $=\frac{1}{\frac{c^2}{a^2}}$
Sssss  $=\frac{a^2}{c^2}$

Persamaan Kuadrat Baru
$x^2-(\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2})x+\frac{1}{x_1^2}.\frac{1}{x_2^2}=0$
$x^2-(\frac{b^2}{c^2}-\frac{2a}{c})x+\frac{a^2}{c^2}=0$
$×c^2$
$c^2x^2-(b^2-2ac)x+a^2=0$

Terbukti ✓

8. Akar-akarnya [$\frac{x_2}{x_1}$ dan $\frac{x_1}{x_2}$]

$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1.x_2}$
Ssssssss $=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1.x_2}{x_1.x_2}$
Ssssssss $=\frac{(\frac{-b}{a})^2-2\frac{c}{a}}{\frac{c}{a}}$
Ssssssss $=(\frac{b^2}{a^2}-\frac{2c}{a})×\frac{a}{c}$
Ssssssss $=\frac{b^2}{ac}-2$

$\frac{x_2}{x_1}.\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_1.x_2}{x_1.x_2}$
 Ssssss $=1$

Persamaan Kuadrat Baru
$x^2-(\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2})x+\frac{x_2}{x_1}.\frac{x_1}{x_2}=0$
$x^2-(\frac{b^2}{ac}-2)x+1=0$
$×ac$
$acx^2-(b^2-2ac)x+ac=0$

Terbukti ✓

9. Akar-akarnya $x_1+x_2$ dan $x_1.x_2$

$(x_1+x_2)+(x_1.x_2)=\frac{-b}{a}+\frac{c}{a}$
Ssssssssssssssssssss $=\frac{-b+c}{a}$

$(x_1+x_2)×(x_1.x_2)=\frac{-b}{a}×\frac{c}{a}$
Ssssssssssssssssssss $=\frac{-bc}{a^2}$

Persamaan Kuadrat Baru
$x^2-((x_1+x_2)+(x_1.x_2))x+(x_1+x_2)×(x_1.x_2)=0$
$x^2-(\frac{-b+c}{a})x+\frac{-bc}{a^2}=0$
$×a^2$
$a^2x^2-(-ab+ac)x-bc=0$
$a^2x^2+(ab-ac)x-bc=0$

Terbukti ✓

###SEMOGA BERMAMFAAT###

Bagikan Artikel ini