BARISAN DAN DERET ARITMATIKA, GEOMETRI | SOAL DAN PEMBAHASAN

Perhatikan pola bilangan berikut ini:
A. 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...
B. 1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

Apakah anda bisa menebak angka selanjutnya. Untuk pola A angka selanjutnya adalah 12 + 2 = 14. Pola barisan bilangan tersebut adalah selalu di tambah dengan angka 2.

Dan untuk barisan bilangan B polanya adalah angkanya selalu di kali dengan angka 2, jadi angka setelah angka 32 adalah 32 x 2 = 64.

Pasti banyak lagi pola barisan-barisan bilangan yang bisa kita buat. Namun yang akan kita pelajari disini adalah pola barisan bilangan yang selalu di jumlah atau di kali dengan angka yang sama.

Untuk lebih memahaminya, sebaiknya kita lihat pengertian berikut ini.

Pengertian Barisan, Deret Aritmatika dan Geometri.

Barisan adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu pola tertentu. 

Sebagai contoh adalah 2 barisan bilangan yang telah kita bahas tadi yaitu barisan 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... dan barisan 1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

Deret adalah bentuk penjumlahan yang terdiri atas suku-suku barisan bilangan yang tersusun secara berurutan.

Contoh jika kita jumlahkan barisan bialangan tadi:
A. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 +...
B. 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...
Maka itu dinamakan deret.

Barisan Aritmatika adalah barisan bilangan yang memiliki beda atau selisih yang tetap di antara 2 suku yang berurutan.

Sebagai contoh barisan bilangan 2, 4, 6, 8, 10, ... Memiliki selisih tetap yaitu 2 di antara suku yang berurutan.

Deret Aritmatika adalah penjumlahan dari barisan aritmatika.

Barisan geometri adalah barisan yang memiliki rasio yang tetap antara 2 suku yang berurutan.

Sebagai contoh barisan bilangan 1, 2, 4, 8, 16, ... memiliki rasio tetap yaitu 2. Jika kita bagi 2 dan 1 sama dengan 4 di bagi 2 yaitu 2.

Jadi, cara termudah membedakan apakah suatu barisan merupakan barisan aritmatika atau barisan geometri adalah dengan mengurangkan atau membagi suku-suku yang berurutan. Nanti akan lebih jelas jika melihat contoh soal.

Dalam barisan bilangan kita kenal juga kata suku, misalnya dari barisan bilangan:
2, 4, 8, 10, 12, ...
Maka diartikan sebagai berikut:

Suku pertama ditulis $U_1$ adalah 2
Suku kedua     ditulis $U_2$ adalah 4
Suku ketiga     ditulis $U_3$ adalah 8
dst..
Suku ke-n        ditulis $U_n$

Untuk menentukan suku ke-n maka akan kita bahas nanti.

Contoh soal:
Tentukan barisan bilangan berikut merupakan barisan aritmatika atau barisan geometri!
1. 3, 6, 9, 12, 15, 18, ...
2. 3, 9, 27, 81, ...
3. 8, 4, 2, 1, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$, ...
4. 15, 10, 5, 0, -5, -10, ...

Jawab:
1. Jika kita kurangkan suku-suku yang berurutan, 6 - 3 = 3 dan 9 - 6 = 3, karena memiliki beda atau selisih yang tetap yaitu 3 maka ini merupakan barisan aritmatika.

2. Jika kita kurangkan suku-suku yang berurutan, 9 - 3 = 6 dan 27 - 9 = 18, karena memiliki beda atau selisih yang tidak tetap maka ini bukan merupakan barisan aritmatika. Coba kita lihat hasil bagi dari suku-suku yang berurutannya, yaitu $\frac{9}{3}=3$ dan $\frac{27}{9}=3$. Karena memiliki hasil bagi atau rasio yang sama yaitu 3 maka ini merupakan barisan geometri.

3. Jika kita bagi suku-suku yang berurutan yaitu $\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$ dan $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$, jadi ini merupakan barisan geometri dengan rasio $\frac{1}{2}$.

4. Jika kita kurangkan suku-suku yang berurutan, 10 - 15 = -5 dan 5 - 10 = -5, karena memiliki beda yang tetap yaitu -5 maka ini merupakan barisan aritmatika.

Barisan dan Deret Aritmatika

Dalam menyelesaikan soal-soal mengenai barisan dan deret aritmatika maka simbol-simbol yang perlu kita ketahui adalah:

$a$ adalah suku pertama atau $U_1$
$b$ adalah beda atau selisih tetap pada barisan artmatika dengan ketentuan
$b=U_n-U_{n-1}$ atau pengurangan suku yang berurutan. Misal $U_4-U_3$ atau $U_8-U_7$.
$U_n$ adalah nilai dari suku ke-n
$U_t$ adalah suku tengah, suku antara $a$ dan $U_n$
$S_n$ adalah penjumlahan dari suku pertama sampai suku ke-n.

Untuk lebih jelasnya, inilah rumus-rumusnya:

$b=U_n-U_{n-1}$

$U_n=a+(n-1)b$

$U_t=\frac{a+U_n}{2}$

$S_n=\frac{n}{2}(a+U_n)$ atau

$S_n=\frac{n}{2}(2a+(n-1)b)$

Contoh Soal:
1. Diketahui barisan 5, -2, -9, -16, ... Tentukanlah:
a. Rumus suku ke-n
b. Suku ke-25

Jawab:
Diketahui: $a=5$ dan $b=-2-5=-7$
Ditanya: a. $U_n=?$ b. $U_{25}=...$

a. $U_n=a+(n-1)b$
a. $U_n=5+(n-1)(-7)$
a. $U_n=5-7n+7$
a. $U_n=12-7n$

b. $U_{25}=12-7(25)=12-175=163$

2. Diketahui suatu barisan bilangan aritmatika memiliki $a=3$ dan $b=4$, Tentukanlah:
a. Nilai suku ke 10
b. Jumlah sepuluh suku pertama barisan aritmatika tersebut

Jawab:
Diketahui: $a=3$, dan $b=4$
Ditanya: a. $U_{10}=...?$ dan b. $S_{10}=...?$

a. $U_n=a+(n-1)b$
a. $U_{10}=a+(10-1)b$
a. $U_{10}=a+9b$
a. $U_{10}=3+9.4$
a. $U_{10}=3+36$
a. $U_{10}=39$

b. $S_n=\frac{n}{2}(a+U_n)$
b. $S_{10}=\frac{10}{2}(a+U_{10})$
b. $S_{10}=5(3+39)$
b. $S_{10}=5(42)$
b. $S_{10}=210$

3. Diketahui sebuah barisan bilangan 3, 7, 11, 15, 19, ...
a. Tulisalah 3 suku berikutnya
b. Tentukan nilai suku ke-12
c. Jumlah 8 suku pertama

Jawab:
Diketahui: $a=3$, dan $b=7-3=4$
Ditanya:
a. 3 suku berikutnya,
b. $U_{12}=...$
c. $S_8=...$

Jawab:
a. Suku selanjutnya adalah 19 + 4 = 23
a. Suku selanjutnya adalah 23 + 4 = 27
a. Suku selanjutnya adalah 27 + 4 = 31
Jadi 3 suku selanjutnya adalah 23, 27, 31.

b. $U_{12}=a+11b$
b. $U_{12}=3+11.4$
b. $U_{12}=3+44$
b. $U_{12}=47$

c. $S_8=\frac{8}{2}(2a+7b)$
c. $S_8=4(2.3+7.4)$
c. $S_8=4(6+28)$
c. $S_8=4(34)$
c. $S_8=136$

4. Suatu ruang pertunjukan memiliki 25 baris kursi. Terdapat 30 kursi pada baris pertama, 34 kursi pada baris kedua, 38 kursi pada baris ketiga, 42 kursi pada baris keempat dan seterusnya. Jumlah kursi yang ada dalam ruang pertunujkan adalah ... buah
A. 1.535
B. 1.950
C. 2.700
D. 1.575
E. 2.000

Jawab:
Diketahui: $a=30$, dan $b=34-30=4$
Ditanya: $S_{25}$ karena kursinya terdiri dari 25 baris.

$S_{25}=\frac{25}{2}(2a+24b)$
$S_{25}=\frac{25}{2}(2.30+24.4)$
$S_{25}=\frac{25}{2}(60+96)$
$S_{25}=\frac{25}{2}(156)$
$S_{25}=1.950$
Jadi, jawabannya adalah B.

Barisan dan Deret Geometri

Jika di barisan aritmatika terdapat nila b atau beda. Maka di barisan geometri kita menggunakan r atau rasio.

r adalah hasil bagi dari suku yang berurutan. Berikut rumusnya beserta rumus $U_n$, $U_t$ dan $S_n$.

$r=\frac{U_n}{U_{n-1}}$

$U_n=ar^{n-1}$

$U_t=\sqrt{U_1.U_n}$

$S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$ jika $r≥1$

$S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$ jika $r<1$

Contoh soal:
1. Tentukan rumus suku ke-n dan suku ke sepuluh dari barisan geometri di bawah ini:
a. 1, 4, 16, 24, ...
b. $\frac{1}{25}$, $\frac{1}{5}$, 1, 5, ...

Jawab:
a. Diketahui: $a=1$ dan $r=\frac{4}{1}=4$
a. Ditanya: $U_n=...?$ dan $U_{10}=...?$

$U_n=ar^{n-1}=1.4^{n-1}=4^{n-1}$

$U_{10}=4^9=262.144$

b. Diketahui: $a=\frac{1}{25}$
b. Diketahui: $r=\frac{5}{1}=5$
b. Ditanya: $U_n=...?$ dan $U_{10}=...?$

$U_n=ar^{n-1}=\frac{1}{25}.5^{n-1}$

$U_{10}=\frac{1}{25}.5^9=78.125$

2. Tentukan jumlah 10 suku pertama dari barisan bilangan geometri 1, 2, 4, 8, 16, ...

Jawab:
Diketahui: $a=1$
Diketahui: $r=\frac{4}{2}=2$
Ditanya: $S_{10}=...?$

Jawab:
$S_{10}=\frac{a(r^{10}-1)}{r-1}$
$S_{10}=\frac{1(2^{10}-1)}{2-1}$
$S_{10}=\frac{1024-1}{1}=1023$

3. Tentukan rasio dan suku pertama dari ketentuan barisan geometri dibawah ini:
a. Suku ke-2 = 6 dan suku ke-5 =162
b. $U_3=10$ dan $U_6=1,25$

Jawab:
a. Diketahui: $U_2=6$ dan $U_5=162$
a. Ditanya: $r=...$ dan $a=...$

$U_2=6$
$ar=6$ ...[1]

$U_5=162$
$ar^4=162$ ...[2]

Kita bagi persamaan [2] dengan [1], maka:

$\frac{ar^4}{ar}=\frac{162}{6}$
$r^3=27$
$r=3$

Untuk mencari nilai a kita gunakan persamaan [1]
$ar=6$
$3a=6$
$a=\frac{6}{3}=2$

b. Diketahui: $U_3=10$ dan $U_6=1,25$
a. Ditanya: $r=...$ dan $a=...$

$U_3=10$
$ar^2=10$ ...[1]

$U_6=1,25$
$ar^5=1,25$ ...[2]

Kita bagi persamaan [2] dengan [1], maka:

$\frac{ar^5}{ar^2}=\frac{1,25}{10}$
$r^3=0,125$
$r=0,5$

$ar^2=10$
$a(0,5)^2=10$
$0,25a=10$
$a=\frac{10}{0,25}=40$

JIKA ADA SOAL PR/TUGAS ATAU SOAL LAINNYA YANG BERHUBUNGAN DENGAN BARISAN DAN DERET YANG TIDAK BISA KAMU SELESAIKAN, SILAHKAN TULIS DIKOMENTAR. 20 KOMENTAR PERTAMA AKAN DI JAWAB OLEH ADMIN MTKA.XYZ

###SEMOGA BERMAMFAAT###

Bagikan Artikel ini