PENGERTIAN DAN OPERASI ALJABAR SERTA SOAL DAN PEMBAHASANNYA

Bentuk Aljabar adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya memuat huruf-huruf yang mewakili bilangan yang belum diketahui.

Contoh bentuk aljabar:

5 x^{7} + 3 x^{2} - 9 x + 1

$5x^7+3x^2-9x+1$

Unsur-unsur bentuk aljabar

Dari bentuk aljabar di atas dapat ditentukan:

1. Variabel atau peubahnya adalah x

2. Suku adalah variabel beserta koofisiennya atau konstanta yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau kurang [selisih]. Banyak suku bentuk aljabar di atas adalah 4.

2. Koofisien adalah angka sebelum variabel. Koofisien dari

x^{7}

$x^7$ adalah 5. Koofisien dari

x^{2}

$x^2$ adalah 3 dan koofisien dari

x

$x$ adalah -9.

3. Pangkat atau eksponen adalah angka pangkat dari x. Pangkat suku pertama adalah 7. Pangkat suku kedua adalah 2 dan pangkat suku ketiga adalah 1 [jika berpangkat 1 maka pangkatnya tidak di tuliskan].

4. Konstanta atau nilai tetapnya adalah 1 [suku terakhir]

Operasi hitung pada bentuk aljabar

Operasi hitung dalam aljabar terdiri dari penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, pemangkatan, dan pemfaktoran. Akan di jelaskan satu persatu dalam postingan ini.

Sebelum kita membahas operasi hitung dalam aljabar, sebaiknya kita pahami dulu pengertian suku sejenis dan suku tidak sejenis.

Suku sejenis adalah suku yang variabel dan pangkat dari masing-masing variabelnya sama.

Contoh suku sejenis:
Perhatikan 2 bentuk aljabar berikut:

2 x^{3} + 2 x y + y + 4

$2x^3+2xy+y+4$ dan

- 6 x^{3} + 5 x y - 4 y + 6 x

$-6x^3+5xy-4y+6x$

1. Suku

2 x^{3}

$2x^3$ sejenis dengan suku

- 6 x^{3}

$-6x^3$ .
2. Suku 2xy sejenis dengan suku 5xy.
3. Suku y sejenis dengan suku -4y

Suku tidak sejenis adalah suku yang variabel dan pangkat dari masing-masing variabelnya berbeda.

Contoh suku tidak sejenis:
1. Suku

2 x^{3}

$2x^3$ tidak sejenis dengan 6x, karena pangkat dari variabelnya berbeda.
2. Suku 2xy tidak sejenis dengan -4y karena memiliki variabel berbeda [yang satu bervariabel xy dan yang satunya lagi bervariabel y]

Baiklah semoga dengan penjelasan tadi kita bisa memahami apa itu suku yang sejenis dan suku yang tidak sejenis. Sekarang kita masuk pada pembahasan operasi hitung pada aljabar.

A. Penjumlahan dan pengurangan Aljabar

Penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar dapat dilakukan pada suku-suku yang sejenis. Dan langkah-langkahnya sebagai berikut:
a. Mengumpulkan/mengelompokkan suku-suku yang sejenis.
b. Menyederhanakan hasil penjumlahan atau pengurangan koofisien dari suku-suku yang sejenis.

Contoh soal:
1. 4x + 2x = [4 + 2]x = 6x

2. -5x + 3x = [-5 + 3]x = -2x

3. Jika A = 5x - y + 6 dan B = -3x + 4y - 2, tentukan hasil dari A + B dan A - B.

Jawab:
A + B = [5x - y + 6] + [-3x + 4y - 2]
A + B = 5x - 3x - y + 4y + 6 - 2
A + B = [5 - 3]x + [-1 + 4]y + 6 - 2
A + B = 2x + 3y + 4

A - B = [5x - y + 6] - [-3x + 4y - 2]
A - B = 5x - y + 6 + 3x - 4y + 2
A - B = 5x + 3x - y - 4y + 6 + 2
A - B = 8x - 5y + 8

B. Perkalian Aljabar

a. Perkalian satu suku dengan dua suku

a (x + b) = a x + a b

$a(x+b)=ax+ab$

Contoh soal:
1.

3 (2 x - 3) = 3 (2 x) + 3 (- 3) = 6 x - 9

$3(2x-3)=3(2x)+3(-3)=6x-9$

2.

4 x (3 - 2 x) = 4 x (3) + 4 x (- 2 x)

$4x(3-2x)=4x(3)+4x(-2x)$
4x

3 - 2 x

$3-2x$

= 12 x - 8 x^{2}

$=12x-8x^2$

b. Perkalian dua suku dan dua suku

(a x + b) (c x + d) =

$(ax+b)(cx+d)=$

a c x^{2} + a d x + b c x + b d

$acx^2+adx+bcx+bd$

Disederhanakan menjadi

a c x^{2} + (a d + b c) x + b d

$acx^2+(ad+bc)x+bd$ ...[1]

Berikut adalah bentuk khusus dari perkalian dua suku:

(x + a) (x + a) = x^{2} + 2 a x + a^{2}

$(x+a)(x+a)=x^2+2ax+a^2$ ...[2]

(x - a) (x - a) = x^{2} - 2 a x + a^{2}

$(x-a)(x-a)=x^2-2ax+a^2$ ...[3]

(x + a) (x - a) = x^{2} - a^{2}

$(x+a)(x-a)=x^2-a^2$ ...[4]

Contoh soal:
Tentukan hasil kali dari bentuk aljabar berikut:
1.

(3 x - 2) (2 x + 1)

$(3x-2)(2x+1)$
2.

(x + 3) (x + 3)

$(x+3)(x+3)$
3.

(3 x + 2) (3 x - 2)

$(3x+2)(3x-2)$

Jawab:
1. Gunakan sifat [1], maka hasilnya:

= (3 x - 2) (2 x + 1)

$=(3x-2)(2x+1)$

= (3.2) x^{2} + (3.1 + (- 2) .2) x + (- 2) .1

$=(3.2)x^2+(3.1+(-2).2)x+(-2).1$

= 6 x^{2} + (3 - 4) x - 2

$=6x^2+(3-4)x-2$

= 6 x^{2} - x - 2

$=6x^2-x-2$

2. Gunakan sifat [2], maka hasilnya:

= (x + 3) (x + 3)

$=(x+3)(x+3)$

= x^{2} + 2.3 x + 3^{2}

$=x^2+2.3x+3^2$

= x^{2} + 6 x + 9

$=x^2+6x+9$

3. Gunakan sifat [4], maka hasilnya:

= (3 x + 2) (3 x - 2)

$=(3x+2)(3x-2)$

= (3 x)^{2} - 2^{2}

$=(3x)^2-2^2$

= 9 x^{2} - 4

$=9x^2-4$

C. Pembagian Aljabar

Pembagian pada bentuk aljabar dapat disederhanakan apabila pembilang dan penyebut mempunyai faktor persekutuan. Pembagian bentuk aljabar akan lebih mudah jika dinyatakan dalam bentuk pecahan.

a x : a = \frac{a x}{a} = x

$ax:a=\frac{ax}{a}=x$ ...[1]

x^{m} : x^{n} = x^{m - n}

$x^m:x^n=x^{m-n}$ ...[2]

Contoh soal:
1.

5 y : 5 = \frac{5 y}{5} = y

$5y:5=\frac{5y}{5}=y$
2.

9 x^{3} : 3 x = \frac{9 x^{3}}{3 x} = \frac{9}{3} x^{3 - 1} = 3 x^{2}

$9x^3:3x=\frac{9x^3}{3x}=\frac{9}{3}x^{3-1}=3x^2$

D. Pemangkatan

Pemangkatan pada bentuk aljabar adalah perkalian berulang bilangan pokok sebanyak pangkatnya, atau bisa dituliskan sebagai berikut:

a^{n} = a \times a \times a \times . . . \times a

$a^n=a×a×a×...×a$ [sebanyak n]

Contoh soal:
1.

(2 x)^{3} = (2 x) (2 x) (2 x) = 8 x^{3}

$(2x)^3=(2x)(2x)(2x)=8x^3$
2.

(3 - 2 x)^{2} = (3 - 2 x) (3 - 2 x)

$(3-2x)^2=(3-2x)(3-2x)$
2. S

3 - 2 x

$3-2x$ ^2

= 9 - 12 x + 4 x^{2}

$=9-12x+4x^2$

E. Pemfaktoran Aljabar

Pemfaktoran berarti menyatakan dalam bentuk perkalian faktornya. Dengan sifat distributif dan selisih dua kuadrat yang telah kita bahas pada perkalian aljabar maka diperoleh:

a x + a y = a (x + y)

$ax+ay=a(x+y)$

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$

Contoh soal:
Nyatakan aljabar berikut dalam bentuk faktor:
1.

2 x^{2} - 8 x y

$2x^2-8xy$
2.

- 15 x^{2} y^{2} + 10 x y

$-15x^2y^2+10xy$
3.

12 x^{2} - 3 y^{2}

$12x^2-3y^2$

Jawab:
1.

2 x^{2} - 8 x y

$2x^2-8xy$
Faktor persekutuan dari 2 dan -8, yaitu 2
Faktor persekutuan dari x dan xy, yaitu x
Jadi,

2 x^{2} - 8 x y = 2 x (x - 4 y)

$2x^2-8xy=2x(x-4y)$

2.

- 15 x^{2} y^{2} + 10 x y

$-15x^2y^2+10xy$
Faktor persekutuan dari -15 dan 10, yaitu 5
Faktor persekutuan dari

x^{2} y^{2}

$x^2y^2$ dan

x y

$xy$ , yaitu xy
Jadi,

- 15 x^{2} y^{2} + 10 x y = 5 x y (- 3 x y + 2)

$-15x^2y^2+10xy=5xy(-3xy+2)$

3.

= 12 x^{2} - 3 y^{2}

$=12x^2-3y^2$ , Faktorkan koofisiean

= 3 (4 x^{2} - y^{2})

$=3(4x^2-y^2)$ , berupa selisih kuadrat

= 3 (2 x + y) (2 x - y)

$=3(2x+y)(2x-y)$

F. Pemfaktoran bentuk kuadrat

a. Pemfaktoran

a x^{2} + b x + c

$ax^2+bx+c$ dengan

a = 1

$a=1$

Karena a atau koofisien

x^{2}

$x^2$ bernilai satu maka bisa dituliskan menjadi

x^{2} + b x + c

$x^2+bx+c$ dan faktornya adalah:

x^{2} + b x + c = (x + m) (x + n)

$x^2+bx+c=(x+m)(x+n)$

Dengan syarat:

m + n = b

$m+n=b$ dan

m . n = c

$m.n=c$

Catatan: tanda . dibaca kali.

Contoh soal:
Tentukan faktor dari:
1.

x^{2} + 5 x + 6

$x^2+5x+6$
2.

x^{2} + 2 x - 3

$x^2+2x-3$

Jawab:
1. Diketahui nilai c = 6 dan b = 5
6 = [1 × 6] => [1 + 6 = 7]

\neq

$\neq$ b
6 = [2 × 3] => [2 + 3 = 5] = b
Jadi kita pakai 2 dan 3

x^{2} + 5 x + 6 = (x + 2) (x + 3)

$x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$

2. Diketahui nilai c = -3 dan b = 2
-3 = [-3 × 1] => [-3 + 1 = -2]

\neq

$\neq$ b
-3 = [3 × -1] => [3 - 1 = 2] = b
Jadi kita pakai 3 dan -1

x^{2} + 2 x - 3 = (x + 3) (x - 1)

$x^2+2x-3=(x+3)(x-1)$

b. Pemfaktoran

a x^{2} + b x + c

$ax^2+bx+c$ dengan

a \neq 1

$a\neq1$

Jika nilai a tidak sama dengan satu maka rumusnya adalah:

a x^{2} + b x + c = \frac{1}{a} (a x + m) (a x + n)

$ax^2+bx+c=\frac{1}{a}(ax+m)(ax+n)$

Dengan syarat:

m + n = b

$m+n=b$ dan

m . n = a . c

$m.n=a.c$

Contoh soal:
Tentukan faktor dari

6 x^{2} + 16 x + 8

$6x^2+16x+8$ .

Jawab:
Diketahui a = 6, b = 16 dan c = 8.
Maka a.c = 6.8 = 48

48 = 6 × 8 => 6 + 8 = 14,

\neq

$\neq$ b
48 = 1 × 48 => 1 + 48 = 49,

\neq

$\neq$ b
48 = 3 × 16 => 3 + 16 = 19,

\neq

$\neq$ b
48 = 4 × 12 => 4 + 12 = 16, = b

Jadi kita pakai 4 dan 12, dengan menggunakan rumus di atas maka hasilnya:

= 6 x^{2} + 16 x + 8

$=6x^2+16x+8$

= \frac{1}{6} (6 x + 12) (6 x + 4)

$=\frac{1}{6}(6x+12)(6x+4)$

= \frac{1}{6} .6 (x + 2) .2 (3 x + 2)

$=\frac{1}{6}.6(x+2).2(3x+2)$

= 2 (x + 2) (3 x + 2)

$=2(x+2)(3x+2)$

JIKA ADA SOAL PR/TUGAS ATAU SOAL LAINNYA YANG BERHUBUNGAN DENGAN ALJABAR YANG TIDAK BISA KAMU SELESAIKAN, SILAHKAN TULIS DIKOMENTAR. 20 KOMENTAR PERTAMA AKAN DI JAWAB OLEH ADMIN MTKA.XYZ

###SEMOGA BERMAMFAAT###