FUNGSI KUADRAT [Hal 2]

Ini merupakan materi lanjutan dari FUNGSI KUADRAT [Hal 1] yang membahas tentang pengaruh nilai $a,b,c$ dan $D$ pada grafik fungsi kuadrat serta menentukan sumbu simetri dan nilai optimum.

Di postingan ini akan di bahas cara menggambar grafik fungsi kuadrat dan menentukan persamaan fungsi kuadrat dengan diketahui beberapa titik. Oke langsung saja ke TKP.

Daftar isi:

1. Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat
2. Menentukan Persamaan Fungsi Kuadrat
3. Soal-soal Latihan

A. Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat

Langkah-langkah untuk mensketsa grafik fungsi kuadrat adalah sebagai berikut:

1. Menentukan bentuk fungsi kuadrat [Terbuka ke atas atau Terbuka ke bawah]
2. Menentukan titik potong dengan sumbu-y yaitu $(0,c)$
3. Menentukan titik potong dengan sumbu-x dengan mencari akar-akar persamaannya. Jika grafik tidak memtong sumbu-x, lanjutkan ke langkah 4.
4. Menentukan sumbu simetri dan Titik Optimum Fungsi Kuadrat.
5. Mensketsa grafik fungsi kuadrat dengan menghubungkan titik-titik koordinat pada langkah 1, 2, 3 dan 4.

Contoh:

Gambarkan grafik fungsi kuadrat berikut:

a. $y=4x^2$

b. $y=x^2+2x+3$

c. $y=-2x^2-x+3$

Penyelesaian:

a. $y=4x^2$
Diket: $a=4,b=0,c=0$

1. Nilai $a$ positif, maka Grafik Fungsi Terbuka ke atas.
2. nilai $c=0$ maka titik potong dengan sumbu-y adalah $(0,0)$
3. $D=b^2-4ac=0^2-4.4.0=0$, maka grafik menyinggung sumbu-x. $4x^2=0$ => $x=0$ adalah akar persamaannya. Maka titik potong dengan sumbu-x nya adalah $(0,0)$
4. $x_s=-\frac{0}{2.4}=0$ dan $y_o=-\frac{0}{4.4}=0$. Sumbu simetrinya adalah $x_s=0$ dan Titik Optimumnya adalah $(0,0)$.
5. Karena dari langkah 1 sampai 4 hanya di dapat satu titik koordinat yaitu $(0,0)$ maka perlu dicari titik koordinat lain dengan sembarang nilai x, misal $x=1$ dan $x=-1$, untuk $x=1$maka $y=4×1^2=4$ sehingga diperoleh titik $(1,4)$ dan untuk $x=-1$, maka $y=4×(-1)^2=4$ sehingga diperoleh titik $(-1,4)$.
6. Jadi dapat disimpulkan Grafik fungsi terbuka ke atas dan melalui titik-titik koordinat berikut $(-1,4),(0,0)$ dan $(1,4)$. Serta memiliki sumbu simetri $x_s=0$ dan titik optimumnya adalah $(0,0)$. Grafiknya sebagai berikut:

b. $y=x^2+2x+3$

Diket: $a=1,b=2,c=3$

1. Nilai $a$ positif, maka grafik fungsi terbuka ke atas
2. Nilai $c=3$, maka titik potong dengan sumbu-y adalah $(0,3)$
3. $D=2^2-4.1.3=4-12=-8$, $D<0$ maka grafik fungsi tidak memotong sumbu-x
4. $x_s=-\frac{2}{2.1}=-1$ dan $y_o=-\frac{-8}{4.1}=2$. Sumbu simetrinya adalah $x_s=-1$ dan titik Optimumnya adalah $(-1,2)$
5. Grafiknya adalah:

c. $y=-2x^2-x+3$

Diket: $a=-2,b=-1,c=3$

1. Nilai $a$ negatif, maka grafik fungsi terbuka ke bawah
2. Nilai $c=3$, maka titik potong dengan sumbu-y adalah $(0,3)$
3. $D=(-1)^2-4(-2)3=1+24=25$, $D>0$ maka grafik fungsi memotong sumbu-x di dua titik. $-2x^2-x+3=0$ faktornya adalah $(-2x-3)(x-1)$ sehingga akar-akarnya adalah $x=-\frac{3}{2}$ dan $x=1$. Maka titik potong dengan sumbu-x nya adalah $(-\frac{3}{2},0)$ dan $(1,0)$.
4. $x_s=-\frac{-1}{2.(-2)}=-\frac{1}{4}$ dan $y_o=-\frac{25}{4.(-2)}=\frac{25}{8}$. Sumbu simetrinya adalah $x_s=-\frac{1}{4}$ dan titik Optimumnya adalah $(-\frac{1}{4},\frac{25}{8})$
5. Grafiknya adalah:

B. Menentukan Persamaan Fungsi Kuadrat

1. Jika diketahui titik puncak/optimum maka gunakan rumus berikut:

$y=a(x-x_p)^2+y_p$

Keterangan: $x_p,y_p$ adalah titik puncak. Dan untuk mencari nilai $a$ gunakan titik lain pengganti nilai $x$ dan $y$.

Contoh:
Tentukan fungsi kuadrat yang titik puncaknya $(1,-4)$ dan memotong sumbu-x pada titik $(-1,0)$!

Pembahasan:
Diket: Titik puncak $(1,-4)$ dan memotong sumbu-x di titik $(-1,0)$

$y=a(x-x_p)^2+y_p$
$0=a((-1)-1)^2+(-4)$
$0=4a-4$
$4a=4$
$a=1$

Jadi persamaan Fungsi kuadratnya adalah:
$y=a(x-x_p)^2+y_p$
$y=1(x-1)^2+(-4)$
$y=(x^2-2x+1)-4$
$y=x^2-2x+1-4$
$y=x^2-2x-3$

2. Jika diketahui titik potong dengan sumbu-x
Maka gunakan rumus berikut:

$y=a(x-x_1)(x-x_2)$

Keterangan: $x_1,x_2$ adalah titik potong dengan sumbu-x [akar-akar persamaan]. Dan untuk mencari nilai $a$ gunakan titik lain pengganti nilai $x$ dan $y$.

Contoh:
Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya seperti gambar berikut:

Pembahasan:
Dari gambar diketahui titik potong dengan sumbu-x adalah $(1,0)$ dan $(4,0)$, serta titik potong dengan sumbu-y $(0,-4)$

$y=a(x-x_1)(x-x_2)$
$-4=a(0-1)(0-4)$
$-4=4a$
$a=-1$

Jadi persamaan fungsi kuadratnya adalah:
$y=a(x-x_1)(x-x_2)$
$y=(-1)(x-1)(x-4)$
$y=(-1)(x^2-5x+4)$
$y=-x^2+5x-4$

3. Jika diketahui selain titik puncak dan titik potong dengan sumbu-x
Maka gunakan rumus berikut:

$y=ax^2+bx+c$

Contoh:
Tentukan Fungsi kuadrat yang melalui titik koordinat $(0,1)$, $(1,3)$ dan $(2,7)$.

Jawab:
Misalkan Fungsinya adalah
$y=ax^2+bx+c$

$(0,1)$
$1=a(0^2)+b(0)+c$
$c=1$

$(1,3)$
$3=a(1^2)+b(1)+1$
$3=a+b+1$
$a+b=2$ ...[1]

$(2,7)$
$7=a(2^2)+b(2)+1$
$7=4a+2b+1$
$4a+2b=6$ ...[2]

Eliminasi [1] dan [2]
$a+b=2$  ×2
$4a+2b=6$

$2a+2b=4$
$4a+2b=6$
------------------- -
$-2a=-2$
$a=1$

Dari [1], maka diperoleh nilai b
$a+b=2$
$1+b=2$
$b=1$

Jadi diperoleh nilai $a=1,b=1,c=1$, persamaan fungsinya adalah
$y=x^2+x+1$

Soal-soal Latihan

Gambarkan grafik fungsi berikut:
1. $y=x^2+x+3$
2. $y=-x^2+6x-8$
3. $y=2x^2+3x+2$
4. $y=-2x^2+8x-8$

5. Tentukan Fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-x pada titik $(-2,0)$ dan $(5,0)$ serta memotong sumbu-y pada titik $(0,-20)$

6. Tentukan fungsi kuadrat yang melalui titik $(0,7)$ dan memiliki titik puncak $(1,5)$

7. Tentukan fungsi kuadrat yang melalui titik $(0,5),(1,6)$ dan $(-1,12)$

JIKA ADA SOAL PR/TUGAS ATAU SOAL LAINNYA YANG BERHUBUNGAN DENGAN FUNGSI KUADRAT YANG TIDAK BISA KAMU SELESAIKAN, SILAHKAN TULIS DIKOMENTAR. 20 KOMENTAR PERTAMA AKAN DI JAWAB OLEH ADMIN MTKA.XYZ

###SEMOGA BERMAMFAAT###

Bagikan Artikel ini