FUNGSI KUADRAT [Hal 1]

Jika bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah

a x^{2} + b x + c = 0

$ax^2+bx+c=0$ , maka bentuk umum dari Fungsi Kuadrat tidak jauh berbeda yaitu:

BENTUK UMUM FUNGSI KUADRAT

f (x) = a x^{2} + b x + c

$f(x)=ax^2+bx+c$

atau

y = a x^{2} + b x + c

$y=ax^2+bx+c$

Daftar isi:

Pengaruh nilai $a,b,c$ dan $D$ pada Grafik Fungsi Kuadrat
Titik Optimum/Titik Ekstrem
Soal-soal Latihan

Sebenarnya persamaan kuadrat merupakan fungsi kuadrat dengan nilai

y = 0

$y=0$ . Berbeda dengan persamaan kuadrat yang membahas tentang akar-akar persamaan kuadrat, nilai diskriminan dll. Pada fungsi kuadrat kita membahas topik yang lebih luas yaitu diantaranya menggambar grafik fungsi kuadrat, sumbu simetri, nilai optimum [maksimum/minimum] fungsi kuadrat hingga menentukan fungsi kuadrat dengan diketahui beberapa titik. Semuanya akan di bahas satu-persatu di postingan ini.

Berikut sedikit gambaran mengenai topik-topik tadi:

Titik Optimum sering juga disebut Titik Puncak. Titik Optimum bisa juga disebut Titik Maksimum [jika grafik terbuka ke bawah] dan Titik Minimum [jika grafik terbuka ke atas].

A. Pengaruh nilai $a,b,c$ dan $D$ pada Grafik Fungsi Kuadrat

y = a x^{2} + b x + c

$y=ax^2+bx+c$

Nilai

a, b, c

$a,b,c$ dan

D

$D$ [Diskriminan] akan berpengaruh pada grafik fungsi tersebut. Seperti apa pengaruhnya, berikut penjelasannya:

a. Pengaruh Nilai

a

$a$

Jika Nilai

a

$a$ Positif atau

a > 0

$a>0$
Maka Grafik Fungsi Terbuka ke Atas

Jika Nilai

a

$a$ Negatif atau

a < 0

$a<0$
Maka Grafik Fungsi Terbuka ke Bawah

b. Pengaruh Nilai

b

$b$

Nilai

b

$b$ akan mempengaruhi sumbu simetri dari grafik fungsi kuadrat

c. Pengaruh Nilai

c

$c$

Nilai

c

$c$ akan menentukan titik potong grafik fungsi kuadrat terhadap sumbu-y yaitu

(0, c)

$(0,c)$ .

d. Pengaruh Nilai

D

$D$

D = b^{2} - 4 a c

$D=b^2-4ac$

Untuk

D = 0

$D=0$ , maka grafik fungsi akan menyinggung sumbu-x [memotong sumbu-x pada satu titik].

Untuk

D > 0

$D>0$ , maka grafik fungsi akan memotong sumbu-x pada dua titik yang berbeda.

Untuk

D < 0

$D<0$ , maka grafik fungsi tidak memotong sumbu-x.

Untuk lebih jelasnya seperti apa pengaruh nilai

a, b, c

$a,b,c$ dan

D

$D$ pada grafik fungsi kuadrat perhatikan contoh berikut!

A.

y = x^{2} - 4 x

$y=x^2-4x$
B.

y = - x^{2} + 4 x - 4

$y=-x^2+4x-4$
C.

y = 3 x^{2} + 2 x + 1

$y=3x^2+2x+1$

Pengaruh nilai

a

$a$
A.

a = 1

$a=1$ ,

a

$a$ positif => Terbuka ke atas
B.

a = - 1

$a=-1$ ,

a

$a$ negatif => Terbuka ke bawah
C.

a = 3

$a=3$ ,

a

$a$ positif => Terbuka ke atas

Pengaruh nilai

b

$b$
Pembahasan berikutnya

Pengaruh nilai

c

$c$
A.

c = 0

$c=0$
=> Titik potong dengan sumbu-y

(0, 0)

$(0,0)$
B.

c = - 4

$c=-4$
=> Titik potong dengan sumbu-y

(0, - 4)

$(0,-4)$
C.

c = 1

$c=1$
=> Titik potong dengan sumbu-y

(0, 1)

$(0,1)$

Pengaruh nilai

D

$D$
A.

D = (- 4)^{2} - 4.1.0 = 16

$D=(-4)^2-4.1.0=16$

D > 0

$D>0$ => Memotong sumbu-x pada dua titik yang berbeda.

B.

D = 4^{2} - 4. (- 1) . (- 4) = 16 - 16 = 0

$D=4^2-4.(-1).(-4)=16-16=0$

D = 0

$D=0$ => Menyinggung sumbu-x

C.

D = (2)^{2} - 4.3.1 = 4 - 12 = - 8

$D=(2)^2-4.3.1=4-12=-8$

D < 0

$D<0$ => Tidak memotong sumbu-x.

Berikut grafik dari ketiga fungsi kuadrat di atas:

B. Titik Optimum/Titik Ekstrem

Titik optimum dan Sumbu simetri fungsi kuadrat

Diberbagai buku mungkin kamu bisa menemukan istilah lain dari Titik Optimum seperti Titik Puncak, Titik Ekstrem, Titik Maksimum, dan Titik Minimum. Semuanya sama saja hanya istilahnya yang berbeda.

Fungsi kuadrat

y = a x^{2} + b x + c

$y=ax^2+bx+c$ mempunyai Titik Optimum sebagai berikut:

Titik Optimum

(- \frac{b}{2 a}, - \frac{D}{4 a})

$(-\frac{b}{2a},-\frac{D}{4a})$

Dengan:

Sumbu Simetri

(x_{s} = - \frac{b}{2 a})

$(x_s=-\frac{b}{2a})$

Nilai Optimum

(y_{o} = - \frac{D}{4 a})

$(y_o=-\frac{D}{4a})$

Contoh soal:
Tentukan Sumbu Simetri, Nilai Optimum dan Titik Optimum dari Fungsi kuadrat berikut:
1.

y = - x^{2} + 4

$y=-x^2+4$
2.

y = 3 x^{2} + 12 x

$y=3x^2+12x$
3.

y = 2 x^{2} + 3 x + 4

$y=2x^2+3x+4$

Pembahasan:
1.

y = - x^{2} + 4

$y=-x^2+4$
Diket:

a = - 1

$a=-1$ ,

b = 0

$b=0$ ,

c = 4

$c=4$

Sumbu Simetri

x_{s} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{0}{2. (- 1)} = 0

$x_s=-\frac{b}{2a}=-\frac{0}{2.(-1)}=0$

Nilai Optimum

y_{o} = - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a}

$y_o=-\frac{b^2-4ac}{4a}$

y_{o} = - \frac{0^{2} - 4. (- 1) .4}{4 (- 1)}

$y_o=-\frac{0^2-4.(-1).4}{4(-1)}$

y_{o} = - \frac{16}{- 4}

$y_o=-\frac{16}{-4}$

y_{o} = 4

$y_o=4$

Titik Optimumnya adalah

(0, 4)

$(0,4)$

2.

y = 3 x^{2} + 12 x

$y=3x^2+12x$
Diket:

a = 3

$a=3$ ,

b = 12

$b=12$ ,

c = 0

$c=0$

Sumbu Simetri

x_{s} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{12}{2.3} = - 2

$x_s=-\frac{b}{2a}=-\frac{12}{2.3}=-2$

Nilai Optimum

y_{o} = - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a}

$y_o=-\frac{b^2-4ac}{4a}$

y_{o} = - \frac{12^{2} - 4.3.0}{4.3}

$y_o=-\frac{12^2-4.3.0}{4.3}$

y_{o} = - \frac{144}{12}

$y_o=-\frac{144}{12}$

y_{o} = - 12

$y_o=-12$

Titik Optimumnya adalah

(- 2, - 12)

$(-2,-12)$

3.

y = 2 x^{2} + 3 x + 4

$y=2x^2+3x+4$
Diket:

a = 2

$a=2$ ,

b = 3

$b=3$ ,

c = 4

$c=4$

Sumbu Simetri

x_{s} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{3}{2.2} = - \frac{3}{4}

$x_s=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2.2}=-\frac{3}{4}$

Nilai Optimum

y_{o} = - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a}

$y_o=-\frac{b^2-4ac}{4a}$

y_{o} = - \frac{3^{2} - 4.2.4}{4.2}

$y_o=-\frac{3^2-4.2.4}{4.2}$

y_{o} = - \frac{- 23}{8}

$y_o=-\frac{-23}{8}$

y_{o} = \frac{23}{8}

$y_o=\frac{23}{8}$

Titik Optimumnya adalah

(- \frac{3}{4}, \frac{23}{8})

$(-\frac{3}{4},\frac{23}{8})$

4. Bila fungsi

y = 2 x^{2} + 16 x + m

$y=2x^2+16x+m$ mempunyai nilai minimum

3

$3$ . Maka tentukan nilai

m

$m$ .

Jawab:

y = 2 x^{2} + 16 x + m

$y=2x^2+16x+m$
Diket:

a = 2

$a=2$ ,

b = 16

$b=16$ ,

c = m

$c=m$ , dan

y_{o} = 3

$y_o=3$

- \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a} = 3

$-\frac{b^2-4ac}{4a}=3$

- \frac{16^{2} - 4.2. m}{4.2} = 3

$-\frac{16^2-4.2.m}{4.2}=3$

- \frac{(256 - 8 m)}{8} = 3

$-\frac{(256-8m)}{8}=3$

- (256 - 8 m) = 8.3

$-(256-8m)=8.3$

- 256 + 8 m = 24

$-256+8m=24$

8 m = 24 + 256

$8m=24+256$

m = \frac{280}{8}

$m=\frac{280}{8}$

m = 35

$m=35$

Jadi Fungsinya adalah

y = 2 x^{2} + 16 x + 35

$y=2x^2+16x+35$

Soal-soal Latihan

A. Tentukan apakah Grafik Fungsi kuadrat berikut terbuka ke atas atau terbuka ke bawah dan tentukan juga apakah grafik memotong sumbu-x, menyinggung sumbu-x atau tidak memotong sumbu-x.
1.

y = 3 x^{2}

$y=3x^2$
2.

y = 2 x^{2} - 18

$y=2x^2-18$
3.

y = - x^{2} + 3 x - 2

$y=-x^2+3x-2$
4.

y = x^{2} + 4 x + 6

$y=x^2+4x+6$
5.

y = - 4 x^{2} + 3 x - 5

$y=-4x^2+3x-5$

B. Tentukan sumbu simetri, nilai optimum dan Titik Optimum [maksimum/minimum] dari fungsi kuadrat berikut:
6.

y = x^{2} + 3 x + 2

$y=x^2+3x+2$
7.

y = x^{2} - 3 x + 2

$y=x^2-3x+2$
8.

y = - 2 x^{2} + 4 x + 5

$y=-2x^2+4x+5$
9.

y = - 2 x^{2} - 4 x - 5

$y=-2x^2-4x-5$
10.

y = 2 x^{2} + 4 x + 5

$y=2x^2+4x+5$

C. Tentukan nilai

a

$a$ dan

b

$b$ pada fungsi kuadrat

y = a x^{2} + b x + 1

$y=ax^2+bx+1$ sehingga memenuhi ketentuan berikut:
11. Fungsi kuadrat mempunyai sumbu simetri

x_{s} = 3

$x_s=3$ dan nilai maksimumnya adalah 10.
12. Fungsi kuadrat mempunyai sumbu simetri

x_{s} = 3

$x_s=3$ dan nilai minimumnya adalah -10.

Untuk pembahasan menggambar Fungsi Kuadrat dan menentukan Fungsi Kuadrat akan di bahas di FUNGSI KUADRAT [Hal 2]

JIKA ADA SOAL PR/TUGAS ATAU SOAL LAINNYA YANG BERHUBUNGAN DENGAN FUNGSI KUADRAT YANG TIDAK BISA KAMU SELESAIKAN, SILAHKAN TULIS DIKOMENTAR. 20 KOMENTAR PERTAMA AKAN DI JAWAB OLEH ADMIN MTKA.XYZ

###SEMOGA BERMAMFAAT###