PERPANGKATAN DAN BENTUK AKAR HAL 2 [MATEMATIKA SMP]

Ini merupakan materi lanjutan dari PERPANGKATAN DAN BENTUK AKAR HAL 1.

Daftar isi:

1. Pembagian pada Perpangkatan
2. Perpangkatan pada Pecahan
3. Operasi Perkalian dan Pembagian pada Perpangkatan
4. Pangkat Nol
5. Pangkat Negatif
6. Bentuk Akar
7. Soal-soal latihan

5. Pembagian pada Perpangkatan

Mungkin kita sudah terbiasa dengan pembagian bilangan bulat biasa seperti $6:2$, $18:3$, dll. Tapi bagaimana jika yang kita bagi adalah bilangan berpangkat.

Berikut adalah beberapa contoh pembagian pada bilangan berpangkat.

1. $\frac{2^4}{2^2}=\frac{2×2×2×2}{2×2}$
1. S\f$=2×2$
1. S\f$=2^2$

2. $\frac{5^7}{5^3}=\frac{5×5×5×5×5×5×5}{5×5×5}$
2. S\f$=5×5×5×5$
2. S\f$=5^4$

3. $\frac{(-2)^6}{(-2)^3}=\frac{(-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)}{(-2)×(-2)×(-2)}$
3. S\fssi$=(-2)×(-2)×(-2)$
3. S\fssi$=(-2)^3$

Jika kita perhatikan baik-baik maka pangkat hasilnya adalah pengurangan dari pangkat pembilang dengan pangkat penyebutnya. Yaitu:

1. $\frac{2^4}{2^2}=2^{4-2}=2^2$

2. $\frac{5^7}{5^3}=5^{7-3}=5^4$

3. $\frac{(-2)^6}{(-2)^3}=(-2)^{6-3}=(-2)^3$

Jadi dapat disimpulkan bahwa bentuk umum dari pembagian pada perpangkatan adalah:

$a^m:a^n=\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

6. Perpangkatan pada Pecahan

Amati contoh perpangkatan pecahan berikut, amati baik-baik perkalian dan hasilnya.

1. $(\frac{2}{3})^2=(\frac{2}{3})×(\frac{2}{3})$
1. SsS\f$=\frac{2×2}{3×3}$
1. Sss\f$=\frac{2^2}{3^2}$

2. $(-\frac{3}{4})^3=(-\frac{3}{4})×(-\frac{3}{4})×(-\frac{3}{4})$
2. SSssssf$=-\frac{3×3×3}{4×4×4}$
2. SsSsssf$=-\frac{3^3}{4^3}$

3. $(\frac{5}{6})^4=(\frac{5}{6})×(\frac{5}{6})×(\frac{5}{6})×(\frac{5}{6})$
3. Ssssff$=\frac{5×5×5×5}{6×6×6×6}$
3. Ssssff$=\frac{5^4}{6^4}$

Dapat disimpulkan bahwa bentuk umum dari perpangkatan pecahan adalah:

$(\frac{a}{b})^m=\frac{a^m}{b^m}$

7. Operasi Perkalian dan Pembagian pada Perpangkatan

Pahami contoh-contoh berikut ini:

1. $\frac{2^2×2^3}{2^4}=2^{2+3-4}=2^1=2$

2. $\frac{3^4×3^5}{3^6}=3^{4+5-6}=3^3$

3. $\frac{2^7×3^5}{2^4×3^3}=2^{7-4}×3^{5-3}=2^3×3^2$

Jadi dapat disimpulkan bahwa jika bilangan berpangkat dikali maka pangkatnya di jumlah dan jika di bagi maka pangkatnya di kurangi.

8. Pangkat Nol

Untuk menentukan nilai dari bilangan berpangkat nol, perhatikan contoh berikut:

$2.673$ jika dijabarkan, maka:
$=2×1.000+6×100+7×10+3×1$
$=2×10^3+6×10^2+7×10^1+3×10^?$

Jika di perhatikan dengan teliti maka pangkat $10$ yang terakhir adalah 0, dengan demikian $10^0=1$. Biar lebih paham lagi lihat contoh berikut ini:

$\frac{2^3}{2^3}=2^{3-3}=2^0$

Dan jika kita cari dengan cara lain:

$\frac{2^3}{2^3}=\frac{2×2×2}{2×2×2}=\frac{8}{8}=1$

Jadi, $2^0=1$

Ini juga berlaku untuk bilangan-bilangan lain kecuali angka 0 itu sendiri. Bentuk umum bilangan berpangkat nol dapat ditulisakan sebagai berikut:

$a^0=1$

$a$ bilangan real dan $a\neq0$

9. Pangkat Negatif

Untuk lebih memahami konsep pangkat negatif perhatikan baik-baik beberapa contoh berikut ini:

1. $\frac{1}{2}=\frac{2^0}{2^1}=2^{0-1}=2^{-1}$

2. $\frac{1}{2^3}=\frac{2^0}{2^3}=2^{0-3}=2^{-3}$

3.333331$\frac{3^2}{3^4}=3^{2-4}$
3. $\frac{3×3}{3×3×3×3}=3^{-2}$
3333s3$\frac{1}{3×3}=3^{-2}$
3. 33333.$\frac{1}{3^2}=3^{-2}$

Jadi untuk aturan secara umum pangkat negatif adalah:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

Dan jika penyebutnya berpangkat negatif lihat contoh berikut:

4. $\frac{1}{2^{-3}}=2^{-(-3)}=2^3$

5. $\frac{3^2}{3^{-4}}=3^2×3^4=3^{2+4}=3^6$

6. $\frac{5^{-3}}{5^{-2}}=\frac{5^2}{5^3}=5^{2-3}=5^{-1}=\frac{1}{5}$

10. Bentuk Akar

A. Akar Kuadrat dari suatu Bilangan dan Bentuk Sederhananya.

Akar kuadrat di notasikan sebagai $\sqrt{a}$, akar kuadrat merupakan kebalikan dari pangkat 2 atau pangkat kuadrat. Sebagai contoh:

$2^2=4$, maka $\sqrt{4}=2$

$3^2=9$, maka $\sqrt{9}=3$

$4^2=16$, maka $\sqrt{16}=4$

$5^2=25$, maka $\sqrt{25}=5$

Atau bisa di tuliskan:

$\sqrt{a^2}=a$

Jadi untuk mencari nilai akar kuadrat dari suatu bilangan, kita perlu mencari pangkat kuadrat dari bilangan tersebut. Sebagai contoh:

Tentukan hasil dari bentuk akar berikut ini:
1. $\sqrt{64}$
2. $\sqrt{100}$
3. $\sqrt{200}$
4. $\sqrt{12}$

Jawab:
1. $\sqrt{64}=\sqrt{8^2}=8$
2. $\sqrt{100}=\sqrt{10^2}=10$
3. $\sqrt{200}=\sqrt{100×2}=\sqrt{10^2×2}=10\sqrt{2}$
4. $\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=\sqrt{2^2×3}=2\sqrt{3}$

Jika suatu bilangan tidak merupakan pangkat kuadrat dari bilangan lain, atau perkalian pangkat kuadrat bilangan lain. Maka akar bilangan itu disebut akar yang paling sederhana.

Contoh:
Tentukan nilai paling sederhana dari bentuk akar berikut ini:
1. $\sqrt{5}$
2. $\sqrt{75}$
3. $\sqrt{32}$

Jawab:
1. $\sqrt{5}$ sudah merupakan bentuk paling sederhana karena 5 bukan pangkat kuadrat dari bilangan lain sehingga tidak bisa dijabarkan lagi.

2. $\sqrt{75}=\sqrt{25×3}=5\sqrt{3}$

3. $\sqrt{32}=\sqrt{16×2}=4\sqrt{2}$

Untuk menyederhanakan bentuk akar kita gunakan sifat-sifat akar berikut ini:

$\sqrt{a×b}=\sqrt{a}×\sqrt{b}$

$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

$b\sqrt{a}+c\sqrt{a}=(b+c)\sqrt{a}$

$b\sqrt{a}-c\sqrt{a}=(b-c)\sqrt{a}$

B. Akar pangkat $n$ suatu bilangan

Akar pangkat $n$ suatu bilangan di tuliskan sebagai berikut:

$\sqrt[n]{a}$

Sama seperti akar kuadrat, untuk mencari nilai akar pangkat $n$ suatu bilangan maka kita harus mencari pangkat $n$ dari bilangan tersebut.

Sebagai contoh:
$\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3^3}=3$

$\sqrt[3]{125}=\sqrt[3]{5^3}=5$

$\sqrt[4]{16}=\sqrt[4]{2^4}=2$

$\sqrt[n]{a^n}=a$

Untuk menyederhanakan akar pangkat $n$ suatu bilangan hampir sama dengan penyederhanaan akar kuadrat.

Contoh:
$\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27×2}=\sqrt[3]{3^3×2}=3\sqrt[3]{2}$

Soal-soal latihan:

1. Sederhanakan perpangkatan berikut:

a. $\frac{(-4)^5}{(-4)^2}$

b. $\frac{3^2×3^5}{3^4}$

c. $\frac{2^3×8^2}{4^3}$

d. $\frac{2^7×6^7}{4^7}$

e. $\frac{10^6×4^2}{25^3×8^3}$

f. $\frac{3a^7}{a^3}$

g. $\frac{2a^4b^7}{4a^3b^2}$

2. Tentukan nilai $x$ dari pembagian pada perpangkatan di bawah ini:

a. $\frac{2^5}{8}=2^x$

b. $\frac{3^x}{81}=3^2$

3. Tentukan hasil operasi bilangan berpangkat berikut:

a. $\frac{2^{-3}×2^6}{2^2}$

b. $\frac{1}{3^3}×\frac{1}{3^{-5}}$

4. Sederhanakan dalam bentuk pangkat positif:

a. $2m^{-4}×m^{-3}$

b. $\frac{5^3}{5^6}$

c. $\frac{a^{-5}}{a^{-3}b^{-2}}$

5. Sederhanakan dalam bentuk pangkat negatif:

a. $\frac{abc^2}{a^3b^2c}$

b. $\frac{5^4}{25^3}$

c. $\frac{2^{-4}}{8^{-3}}$

6. Sederhanakan bentuk akar berikut:

a. $\sqrt{72}$

b. $\sqrt{216}$

c. $\sqrt{5.000}$

d. $\sqrt{0,32}$

e. $9\sqrt{2}+4\sqrt{8}$

f. $7\sqrt{3}+\sqrt{48}-\sqrt{108}$

JIKA ADA SOAL PR/TUGAS ATAU SOAL LAINNYA YANG BERHUBUNGAN DENGAN PERPANGKATAN DAN BENTUK AKAR YANG TIDAK BISA KAMU SELESAIKAN, SILAHKAN TULIS DIKOMENTAR. 20 KOMENTAR PERTAMA AKAN DI JAWAB OLEH ADMIN MTKA.XYZ

###SEMOGA BERMAMFAAT###

Bagikan Artikel ini